Wie müssen die Maße gewählt werde, damit einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten wird?

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werde, damit einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten wird?

Ich muss jetzt für die Funktion U(r)= 45/r - π*r/2 + 2r + πr die Ableitungfunktion bilden und dann auf Extremstellen untersuchen.

Nun weiß ich aber nicht, wie ich dies machen kann.

Bitte genau Erklärungung danke!

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass der Anfang -45/r^2 sein muss

und dass um Extremenstellen zu brechnen man Notwendige und Hnreichende Bedingungen brauch...

Answer 1

U(r)= 45/r - π·r/2 + 2·r = 45·r^{-1} - π·r/2 + 2·r
U'(r) = -45·r^{-2} - π/2 + 2 = -45/r^2 - π/2 + 2 = 0

Hier nur mal eine Lösung zum anschließenden Vergleich

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2 --> h = (2·A - pi·r^2)/(4·r)

U = 2·r + 2·h + pi·r = 2·r + 2·(2·A - pi·r^2)/(4·r) + pi·r = (2·A + r^2·(pi + 4))/(2·r)

U' = (r^2·(pi + 4) - 2·A)/(2·r^2) = 0 → r = √(2·A/(pi + 4))

h = (2·A - pi·√(2·A/(pi + 4))^2)/(4·√(2·A/(pi + 4))) = √(2·A/(pi + 4))