Zeigen Sie mittels der Chebyshev-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl geworfener Sechser …

Question

Aufgabe 9.6 (2 Punkte): Ein fairer Würfel werde \( n \) -mal geworfen. Zeigen Sie mittels der Chebyshev-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl geworfener Sechser zwischen \( \frac{1}{6} n-\sqrt{n} \) und \( \frac{1}{6} n+\sqrt{n} \) liegt, mindestens \( \frac{31}{36} \) beträgt. Lösung: \( X \) ist \( \operatorname{Bin}\left(n, \frac{1}{6}\right) \) -verteilt, also \( \operatorname{Var}(X)=\frac{5}{36} n . \) Damit ist
$$ \mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right| \leq \sqrt{n}\right)=1-\mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right|>\sqrt{n}\right) \geq 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{n}=\frac{31}{36} $$
wobei für die Abschätzung die Chebyshev-Ungleichung verwendet wurde.

Warum ist 1-P(X-1/n > wurzel (n) größer gleich 1- Var(x)/n ? Verstehe die Ungleichung nicht :)

Comments

"Verstehe die Ungleichung nicht :)"

Das ist doch in dem Satz, der darüber steht, ebenso wie in der Überschrift erklärt: Chebyshev-Ungleichung

Gruß

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nach der ungleichung muss da ein "kleiner gleich stehen", dort steht aber ein größer gleich

Answer 1

Was Du zeigen musst, ist doch

$$  \mathbb{P} \left\{  \frac{1}{6}n-\sqrt{n} \le X \le \frac{1}{6}n+\sqrt{n} \right\}  = \mathbb{P} \left\{  \left| X - \frac{1}{6}n\right| \le \sqrt{n} \right\} \ge \frac{31}{36} $$

Und das ist doch genau die Tschebyscheffsche Ungleichung.

Comments

Danke für die Antwort, so ist mir das jetzt klar.

Könntest du noch die erklären wie du die Umformungen gemacht hast. :)

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Das ist nur die Definition des Betrages.

Also \( |x| < \epsilon \) gilt genau dann, wenn gilt \( -\epsilon < x < \epsilon \)

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Verstanden, vielen Dank! :)