Funktionsuntersuchung e Funktion

Question

Aufgabe:

F(X)= x*e^(-t*X)

t= postitive Werte

ich soll eine komplette Funktionsuntersuchung machen

also 1) Definitionsbereich

2) Verhalten gegen +/- Unendlich

3) Symmetrie

4) Nullstellen

5) Extrempunkte

6) Wendepunkte

sowie eine die Ortskurve für alle Extremwerte berechnen

vielleicht kann mir jemand helfen, danke im Voraus

Problem/Ansatz:

Die Ableitungen habe ich noch hinbekommen

Answer 1

F(X)= x*e^(-t*X)
f ' (x) = (1-xt)*e^(-tx)  
t= postitive Werte

ich soll eine komplette Funktionsuntersuchung machen

also 1) Definitionsbereich    alle reellen Zahlen

2) Verhalten gegen +/- Unendlich
 bei + geht es gegen 0  und bei - gegen  - unendlich

3) Symmetrie keine einfache

4) Nullstellen bei 0

5) Extrempunkte bei 1/t Maximum

6) Wendepunkte bei x=2/t

sowie eine die Ortskurve für alle ExtremPUNKTE  berechnen

die sind ( 1/t ;  1 / (e*t) also auf der Geraden y = (1/e) * x

Comments

vielen dank schonmal

und wie komme ich auf die Nullstelle, den Wendepunkt und den Extrempunkt?

Ich verstehe nicht wie ich den Term umformen muss, also die Rechnungen.

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Bedenke dabei: Ein Term von der Art e^xyz kann nie 0 werden.

Also ist z- B. bei den Nullstellen

x*e^(-t*X) = 0 äquivalent zu x=0 

oder für Extrema   (1-xt)*e^(-tx) = 0

<=>   1-xt=0

Answer 2

Funktion & Ableitungen

f(x) = e^(- a·x)·x mit a > 0
f'(x) = e^(- a·x)·(1 - a·x)
f''(x) = e^(- a·x)·(a^2·x - 2·a)

Definitionsbereich

D = R

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) e^(- a·x)·x = -∞
lim (x → ∞) e^(- a·x)·x = 0+

Symmetrie

Keine

Nullstellen

f(x) = e^(- a·x)·x = 0 → x = 0

Extrempunkte

f'(x) = e^(- a·x)·(1 - a·x) = 0 → x = 1/a
f(1/a) = 1/(a·e) → HP(1/a | 1/(a·e))

Ortskurve der Extrempunkte

1 - a·x = 0 → a = 1/x
y = e^(- 1/x·x)·x = 1/e·x

Wendepunkte

f''(x) = e^(- a·x)·(a^2·x - 2·a) = 0 → x = 2/a
f(2/a) = 2/(a·e^2) → WP(2/a | 2/(a·e^2))