Vollständige Induktion n>=2

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht ganz aufs richtige Ergebnis. Kann mir jemand helfen den Fehler zu finden?

Danke für die Antworten!

Text erkannt:

Für alle \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{2 k^{2}-4 k}{3^{k+1}}=\frac{n(1-n)}{3^{n}} \)
Induktionsbehauptung:
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1-1} \frac{2 k^{2}-4 k}{3^{k+1}}=\frac{(n+1)(1-(n+1))}{3^{n+1}} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1-1} \frac{2 k^{2}-4 k}{3^{k+1}}=\frac{(n+1)(-n)}{3^{n+1}} \)
Induktionsschritt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1-1} \frac{2 k^{2}-4 k}{3^{k+1}}=\sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{2 k^{2}-4 k}{3^{k+1}}+\frac{2 n^{2}-4 n}{3^{n+1}} \)
$$ \begin{array}{l} =\frac{n(1-n)}{3^{n}}+\frac{2 n^{2}-4 n}{3^{n+1}} \\ =\frac{2(n(1-n))}{2-3^{n}}+\frac{2 n^{2}-4 n}{3^{n+1}} \\ =\frac{2\left(n-n^{2}\right)}{3^{n+1}}+\frac{2 n^{2}-4 n}{3^{n+1}} \\ =\frac{-2 n^{2}+2 n+2 n^{2}-4 n}{3^{n+1}} \\ =\frac{-2 n}{3^{n+1}} \end{array} $$

Comments

Frage hat sich geklärt. Man muss den Bruch mit 3 erweitern nicht mit 2!

Answer 1

Du musst im 2. Schritt mit 3 erweitern um den Hauptnenner zu erreichen:

$$ \frac{n*(1-n)}{3^n}+\frac{2n^2-4n}{3^{n+1}} =\frac{3*n*(1-n)}{3^{n+1}}+\frac{2n^2-4n}{3^{n+1}}$$