ist das Spiel fair? Stochastik

Question

Bei einem Würfelspiel mit einem üblichen Würfel darf man für 1€ Einsatz 3x würfeln.
für eine Sechs erhält man 1€

2x6 4€

3x 6 10€

ist das Spiel fair?

Gedanken: fair heißt, dass man weder Gewinn noch Verlust hat
=> Gewinn=Auszahlung-Einsatz

ich würde sagen, dass da 0 rauskommen müsste

P(6) = 1/6

P(3x6)= 1/216

P(2x6)=1/36

1*1/6+4*1/36+10*216 = 0.324 - 1€(einsatz) = -0.675 => der Spieler macht Verlust => unfair

ist die Vorgehensweise richtig? Danke

Answer 1

E(G) = -1 + 1·3·(1/6)·(5/6)^2 + 4·3·(1/6)^2·(5/6) + 10·(1/6)^3 = -0.3287

Das Spiel ist also nicht fair, weil der Erwartungswert des Gewinns nicht 0 ist.

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit, in 3 Würfen genau eine 6 zu bekommen, ist nicht 1/6.

Die Wahrscheinlichkeit, in 3 Würfen genau zweimal die 6 zu bekommen, ist nicht 1/36.

Verwende Baumdiagramm und Pfadregeln oder - falls bekannt - die Formel für binomialverteilte Zufallsgrößen.

Comments

achso ja stimmt ich habe es so gerechnet als würde man nur 1x würfeln.

also eine 6 wäre 1/216; 2x6 1/108 und 3x6 1/72 (?)
ich habe für 1x 6 1/6 * 1/6 gerechnet; für 2x6 1/216 + 1/216 und für 3x 1/216+1/216+1/216

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Vorhin hattest du wenigstens ein Ergebnis richtig, jetzt sind alle drei falsch.

Genau eine 6 bekommst du mit den 3 Pfaden

6 - keine 6 - keine 6,

keine 6 -  6 - keine 6,

keine 6 - keine 6 - 6.

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1/6 * 5/6 * 5/6
also 25/216 für eine 6

1/6 * 1/6 * 5/6 = 5/216 für 2x6

1/6*1/6*1/6 =1/216 für 3x6

(?)

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also 25/216* + 5/216*4+1/216*10 = 0.25
-1€ Einsatz =- 0.75


Oder müsste ich eher keine Sechs * -1 berechnen, also 5/6*5/6*5/6 und dann mal -1 ?
dann würde ich am ende von 0.25 0.57 substrahieren und auf - 0.32 kommen, also der Spieler macht Verlust

Answer 3

P(1-mal 6) = (3über1)*(1/6)*(5/6)^2

P(2-mal 6) = (3über2)*(1/6)^2*(5/6)

P(3-mal 6)= (1/6)^3