Welche Fläche hat das graue Rechteck bei diesem Vorgang überstrichen?

Question

Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 1 (grau) liegt mit einer Seite an der Seite AF eines regelmäßigen Sechsecks ABCDEF. Das graue Sechseck wird um A gedreht, bis eine seiner Seiten auf AB liegt. Dann wird das graue Sechseck um B gedreht, bis eine seiner Seiten auf BC liegt. Auf diese Weise wird das graue Sechseck nacheinander um die Punkte A, B, C, D, E und F gedreht, bis es wieder in seiner ursprünglichen Lage liegt.

Welche Fläche hat das graue Rechteck bei diesem Vorgang überstrichen?

Comments

Rein zeichnerisch ergibt sich bei mir ungefähr das 9.4-fache der Sechsecksfläche.

Deckt sich das näherungsweise mit der richtigen Lösung?

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Meiner Meinung nach nicht.

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Rein zeichnerisch ergibt sich bei mir ungefähr das 9.4-fache der Sechsecksfläche.

IMHO kommt das hin!

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Ich erhalte als Faktor 9,407026495

Rs Viertelkreise sind falsch.

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siehe unten (Kommentare zur Antwort von Willyengland).

Answer 1

Sehe ich das richtig, dass quasi an jedem Eck ein Secheck um 120° gedreht wird

Könnte es sein, dass ein Kreissektor von 90° Radius 2  (Sechseck Rotationsausschnitt 15° ... 105°) und ein Dreieck aus Sechseckseite einen Flächenausschnitt bilden. Also insgesamt eine Fläche von

\(\small 6 \; \pi + \frac{3}{2} \; \sqrt{15}\)

gebildet wird?

Nachtrag:

Der Kreisausschnitt fällt etwas kleiner aus als π
- von 1 / 6 π - sin⁻^1(1 / 4) ... 120°- 1 / 6 π - sin⁻^1(1 / 4) ~ 3.105
Damit komm ich auf eine Gesamtfläche ~ 24.44 - das wäre in etwa mit dem Faktor 9.4 vergleichbar...

Comments

@wächter. Du hast ja erkannt, dass die Flächen der von mir behaupteten Viertelkreise in Wahrheit etwas kleiner sind, aber selbst, wenn man Viertelkreise wählt, kommt ungefähr 24,66 für die gesuchte Fläche heraus, was ja von 24,44 kaum abweicht. Das Wort 'Faktor' stammt nicht aus meiner Aufgabe. Wo kommt das her?

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Das Wort "Faktor" hat MC in die Diskussion eingeführt als er dir überstrichene Fläche als Vielfaches der Sechseckfläche angegeben hat.

Mein Kommentar war als Kritik an deiner "Messung mit zweierlei Maß" zu verstehen.
Du kannst nicht einerseits MCs Frage, ob sich sein (korrektes) Ergebnis  näherungsweise mit der richtigen Lösung decke zurückweisen, weil dein (falscher) Faktor 9,5 statt 9,4 wäre und gleichzeitig für dich selbst so etwas wie  Für eine Abschätzung der Größenordnung der Lösung recht mein falscher Winkel   in Anspruch nehmen.

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Das Wort 'Faktor' habe ich schon im MC's Antwort nicht einordnen können. Außerdem ging ich damals noch von Viertelkreisen aus.

Was ist 'korrekt' an einer Näherungslösung?

Answer 2

Habe A = 8* Pi = 25,1 raus, bei Seitenlänge 1. Entspricht 9,67 mal dem Sechseck.

Das Sechseck wird 6 mal überstrichen.

Dann noch das Stück zwischen Kreis und Secheck 6-mal.

Der ganze Kreis hat die Fläche 4 Pi.

Davon 3 Sechsecke abziehen und durch 3 teilen.

Comments

So sieht die überstrichene Fläche aus:

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Dann habe ich wohl was falsch verstanden?

In meinem Bild wandert der Punkt C doch auf dem Kreis, bis er bei K landet.

Und warum sollte im Innern was frei bleiben?

Erklär noch mal genauer, wie gedreht werden soll?

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Erklär noch mal genauer, wie gedreht werden soll?

Roland hat es eigentlich ganz klar beschrieben. Er hat lediglich vergessen zu erwähnen, dass mathematisch positiv - also gegen den Uhrzeigersinn - gedreht werden soll.

Führt man die erste Drehung aus (also die um \(A\)), ...

... so ist das hellblaue die überstrichene Fläche. Aber die einzelnen Flächen überlappen einander. Und die Mitte bleibt natürlich frei, weil da kommt das graue Sechseck nie hin.

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Ok, dann hatte ich das mit dem Drehen falsch verstanden. Es wird also quasi auf dem Außenrand des weißen Sechsecks abgerollt.

Dann muss man von meinem Wert noch einmal ein Sechseck abziehen.

also A = 8 PI - 3/2 Wurzel(3)

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Es sind 6 Viertelkreise mit dem Radius 2 und 6 gleichschenklige Dreiecke mit der Basis 1 und der Schenkellänge 2:

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Es sind 6 Viertelkreise ...

Nein - der Winkel \(\theta\) in diesen Kreissektoren ist ca.88,96° und nicht 90°

Exakt: \(\theta = \frac 43 \pi - 2 \arccos\left( \frac 14 \right)\)

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Werner, du hast recht. Für eine Abschätzung der Größenordnung der Lösung reicht mein falscher Winkel aber.

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Wie erklärst du dann dein   Meiner Meinung nach nicht.    auf MCs Kommentar ?

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Damals war meine Meinung noch, dass es tatsächlich echte Viertelkreise seien. Außerdem war gar nicht nach einem Faktor gefragt.