Integralberechnung + Ableitung einer Wurzelfunktion

Question

Aufgabe: Integralberechnung

…

Problem/Ansatz:

Hallo liebes Matheforum :-),

ich bleibe bei einer Aufgabe hängen, da ich nicht weiß, wie ich die Wurzelfunktion ableiten soll C: Mir ist bewusst, dass ich es wohl erst in Potenz umschreiben soll, aber irgendwie weiß ich nicht wie :(( Mit Hilfe der Ableitung soll ich dann das Integral berechnen :C

Die Stammfunktion lautet:

F(u): Wurzel aus 0,5u2+u

Vielen Dank und noch eine schöne erfolgreiche Woche <3

Answer 1

Schreibe \(F(u)=\sqrt{0.5u^2+u}=(0.5u^2+u)^{\frac{1}{2}}\). Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel:$$f(u)=\frac{1}{2}(u+1)(0.5u^2+u)^{-\frac{1}{2}}=\frac{u+1}{2\sqrt{0.5u^2+u}}$$ Da man oft mit Wurzelfunktionen konfrontiert wird, kannst du dir auch folgendes merken. Hast du \(g(x)=\sqrt{f(x)}\), dann ist \(g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\). Du nimmst also immer die Funktion unter der Wurzel, also den Radikand, leitest ihn ab und teilst durch das zweifache.

In deinem Beispiel ist der Radikand \(0.5u^2+u\) und damit abgeleitet \(u+1\). Dies teilst du durch das zweifache der Ausgangsfunktion. Dann kommst du ebenso auf den Term von oben.