Muss doch nur die Schnittpunkte ermitteln und dann mit diesen die Differenzfunktion integrieren oder?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Inhalt A der Fläche, die von den Graphen von $f(x)=-x^{3}+1 \quad$ und
$g(x)=6 x^{2}-7 x+1$ im ersten und vierten Quadranten umschlossen wird.

Problem/Ansatz:

Ich muss doch nur die Schnittpunkte ermitteln und dann mit diesen die Differenzfunktion integrieren oder?

Das mit den Quadranten verwirrt mich.

Answer 1

d(x) = f(x) - g(x)
d(x) = (- x³ + 1) - (6·x² - 7·x + 1) 
d(x) = - x³ - 6·x² + 7·x
d(x) = - x·(x² + 6·x - 7)
d(x) = - x·(x - 1)·(x + 7) = 0 --> x = -7 ∨ x = 0 ∨ x = 1

D(x) = - 0.25·x⁴ - 2·x³ + 3.5·x²

∫ (0 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(0) = 1.25

Skizze:

Answer 2

In den beiden Quadranten gilt x>0.

Du brauchst also nur Schnittpunkte mit positiven x-Werten und eventuell x=0.

Die Schnittstellen liegen bei x=-7; x=0 und x=1.

x=-7 kannst du vernachlässigen.