Question

Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis

a) Wurzel 3+x

b) Wurzel 7x-5

c) Wurzel 7x^2-5

d) Wurzel 1/e^x

Würde mich super über schnelle Antworten freuen :)

Answer 1

Du kannst die Wurzel umschreiben (1): \(\sqrt{3+x}=(3+x)^{1/2}\). Danach wendest du die Kettenregel an (2). Dafür leitest du die innere und äußere Funktion ab und multiplizierst beide miteinander. $$\begin{aligned}f(x)'=\left[\sqrt{3+x}\right]'\stackrel{(1)}{=}[(3+x)^{1/2}]'\stackrel{(2)}{=}&\frac{1}{2}(3+x)^{(1/2)-1}\cdot [3+x]'=\frac{1}{2}(3+x)^{(1/2)-1}\cdot 1\\=&\frac{1}{2}\cdot (3+x)^{-1/2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(3+x)^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}$$ Nach dem gleichen Prinzip kannst du die anderen Wurzelaufgaben lösen.

Answer 2

Kettenregel verwenden:

a) f(x)=\( \sqrt{x+3} \) =(x+3)^1/2;  f '(x)=1/2·(x+3)^-1/2=\( \frac{1}{2\sqrt{x+3}} \) .

b) Ebenso

c) f(x)=\( \sqrt{7x^2-5} \) = (7x²-5)^1/2; f '(x)=1/2(7x²-5)^-1/2·14x

d) f(x)=1/e^x=e^-x; f '(x)=-1·e^-x=-1/e^x.    

Comments

Dir ist ein kleiner Fehler in d) unterlaufen: Es war nicht nach \(f(x)=\frac{1}{e^x}\) gefragt, sondern nach \(f(x)=\sqrt{\frac{1}{e^x}}\).