Ist diese Relation nicht nur antisymmetrisch?

Question

Guten Tag zusammen

Warum ist diese Relation transitiv?

R = {(1, 0),(−1, 0)}

Meiner Meinung nach ist diese Relation nur antisymmetrisch.

Vielen Dank!

MfG
Lenovo

Comments

Selbst wenn nicht, wäre sie nicht nur antisymmetrisch.

---

Larry

Aber die Relation ist nicht transitiv oder?

MfG
Lenovo

Answer 1

Definition der Transitivität:

$$\text{Sei } R\subseteq U\times U \text{ eine binäre Relation auf dem Universum } U \text{. Dann ist } R \text{ transitiv genau dann, wenn } \forall x,y,z\in U: (x,y)\in R \ \wedge (y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R \text{. Wie du sehr schnell siehst, wird die Prämisse } (x,y)\in R \ \wedge (y,z)\in R \text{ für deine Relation nicht erfüllt, woraus mithilfe der Aussagenlogik die Gesamtaussage wahr ist, die Relation also transitiv.}$$

Comments

Danke zuerst vielmals für deine Antwort. Jedoch verstehe ich nicht warum die Relation transitiv ist. Da ja die Bedinung (x,y)∈R ∧(y,z) falsch ist, wie ist die Relation dann überhaupt transitiv?

PS: Ich weiss nicht was Sie mit der Aussagelogik meinen.

MfG
Lenovo

---

Ich versuche es mal folgendermaßen zu formulieren:

Es heißt in der Definition, dass für alle x,y,z ∈ U mit (x,y)∈R und (y,z)∈R gelten muss, dass auch (x,z)∈R. Nun gibt es aber für alle x,y,z ∈ U keine Tupel (x,y)∈R und (y,z)∈R. Damit ist die Aussage "für alle" trotzdem wahr.

Einfacheres Beispiel zum besseren Verständnis:
In öffentlichen Verkehrsmitteln heißt es heute: Alle Personen, die sich im Verkehrsmittel aufhalten (Fahrgäste), tragen eine Maske.

Angenommen es gibt aber keinen Fahrgast im Verkehrsmittel. Die Bedingung "Alle Personen, die sich im Verkehrsmittel aufhalten, tragen eine Maske." ist trotzdem erfüllt, auch wenn es im jeweiligen Moment keinen Fahrgast gibt.

Das spielt auch in der Aussagenlogik eine Rolle, falls ihr die allerdings nicht behandelt habt, möchte ich hier auch keine größeren Ausschweifungen zur Vermeidung von Verwirrung machen.