Nullstelle der 1. Ableitung

Question

Aufgabe:

Beweise folgende Aussage: Wenn eine quadratische Funktion f(x)=x²+px+q genau eine Nullstelle u besitzt so gilt immer: f‘(u)=0.

Mein Ansatz:

Text erkannt:

7.

Answer 1

Hallo,

Nullstellenberechnung mit der pq-Formel:

\(x_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\)

Die Funktion hat nur eine Nullstelle, wenn der Ausdruck hinter \(\pm\) = 0 ist

⇒ \( x=-\frac{p}{2} \)

$$f'(x)=2x+p\\ 2x+p=0\\ 2x=-p\\ x=-\frac{p}{2}$$

Ich weiß allerdings nicht, ob das als Beweis reicht.

Gruß, Silvia

Answer 2

$$\text{Sei } f(x)=x^2+px+q \text{ eine quadratische Funktion mit genau einer Nullstelle.}\\ \text{Dann ist die Diskriminante bei Ermittlung der Nullstelle mit der pq-Formel } 0 \text{, d.h. } q=\left(\frac{p}{2}\right)^2 \text{.} \\\text{Dann folgt } f(x)=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2 = (x+\frac{p}{2})^2 \text{ und } f \text{ besitzt den Scheitelpunkt } P(-\frac{p}{2}|0) \text{.}\\ \text{Insbesondere berührt f die x-Achse von oben. Es folgt nun } f'(x)=2\cdot (x+\frac{p}{2}) \Rightarrow f'(-\frac{p}{2})=0 \text{.}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Mir ist alles klar, bis zu dem Punkt f‘(x)=2(x+p/2)  -> f‘(-p/2)=0

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Mitunter reicht auch die Begründung, dass sich der Scheitelpunkt (nach Definition der Extrempunkt einer Parabel, an dessen Stelle der Wert der ersten Ableitung 0 beträgt) von f an der Nullstelle von f befindet.

Ich hatte hier zusätzlich die Funktion f noch abgeleitet (in meinem Fall mithilfe der Kettenregel) und dann gezeigt, dass der Wert der ersten Ableitung f' an der Nullstelle -p/2 von f auch 0 beträgt, was offenbar mit

$$f'(-\frac{p}{2}) = 2\cdot (-\frac{p}{2} + \frac{p}{2})=2\cdot 0 = 0$$

der Fall ist.

Answer 3

Wenn die Funktion genau eine Nullstelle u besitzt, dann ist sie von der Form

f(x) = (x-u)*(x-u)= x² - 2ux +u²

f'(x)=2x - 2u =0

x=u

f'(u)=0 wie zu zeigen war

Comments

Da hast du aber Glück, dass du vom Löschcoach nicht erfasst wurdest.

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Oh, ja, da oben wurde was gelöscht.

Wenn du deine Antwort auch schreibst, lösche ich meine obwohl ich das erst später gesehen hatte, was du geschrieben hast. Ich finde unsere Lösung um ein Vielfaches besser als die anderen Antworten.

Answer 4

Die Funktion
f (x ) =x^2+p*x+q
ist eine Parabel

Bei nur 1 Nullstelle ist der Berührpunkt der ein Scheitelpunkt

Die Steigung f ´( x ) im Scheitelpunkt ist immer 0