Gleichung lösen(nach x)

Question

Man weiß, dass x = 6 eine Lösung der Gleichung (x+1)³+x=349 ist. Hieraus lässt sich (möglicherweise) auf einfache Weise eine Lösung von(5x+1)³+5x=349 bestimmen.

Ich würde auf x = 5/6 tippen.

Answer 1

Hallo,

$$\begin{aligned} (5x + 1)^3 + 5x &= 349\\ (5x + 1)^2 \cdot (5x + 1) + 5x &= 349\\ (25x^2 + 10x + 1)\cdot(5x + 1) + 5x &= 349\\ 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 + 5x &= 349\\ 125x^3 + 75x^2 + 20x + 1 &= 349\\ 125x^3 + 75x^2 + 20x + 348 &= 0\\ (5x - 6) \cdot (25x^2 + 45x + 58) &= 0 \end{aligned}$$ Ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist: $$\begin{aligned} 5x - 6 &= 0\\ 5x &= 6\\ x &= 6/5 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 25x^2 + 45x + 58 &= 0\\ x^2 + \frac{9x}{5} + \frac{58}{25} &= 0\\ x^2 + \frac{9x}{5} + \frac{81}{100} &= -\frac{151}{100} \quad | \text{ quadratische Ergänzung }\\ \left(x + \frac{9}{10} \right)^2 &= -\frac{151}{100}  \end{aligned}$$Dies Gleichung hat keine Lösung in den reellen Zahlen, weil jede beliebige, reelle Zahl \(x\) für \(x^2\) immer positiv ist, \(-\frac{151}{100}\) aber nicht!

Deine Lösung war also falsch \(-\) es ist nicht \(\frac56\) sondern \(\frac65\)!

Answer 2

Ich würde da eher 6/5 meinen. Denn das passt ja, wenn man das "alte " x durch 5x ersetzt.

Und 5x=6 ==>    x = 6/5

Answer 3

(z + 1)^3 + z= 349 hat die Lösung z = 6

(5x + 1)^3 + 5x = 349
Substituiere/Ersetze 5x = z
(z + 1)^3 + z = 349 hat die Lösung z = 6
Resubstituiere 5x = z
5x = 6 → x = 6/5 = 1.2

Answer 4

Wenn das stimmt, was du sagst, tippe ich auf 6 /5, doch, da du 5/6 sagst, kann nicht alles stimmen, darum schaue ich mal nach.

Ja, 6 ist eine Lösung, doch es gibt eventuell auch andere.

(x+1)^3+x=349

(x+1)^3+x-349 =0

x^3+3x^2+4x-349= 0.     / (x-6)

x^2+9x+58=0 keine Lösung in ℝ

Für die zweite Gleichung ist die Lösung tatsächlich x= 6/5= 1,2