Zeigen Sie, dass es einen Unterraum U ⊂ V gibt. Uni

Question

Aufgabe:

Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum.
(a) Es sei W ⊂ V ein Unterraum. Zeigen Sie, dass es einen Unterraum U ⊂ V gibt, so dass
V = W ⊕ U gilt.
(b) Es seien W1 und W2 Unterräume von V mit dimK W1 = dimK W2. Zeigen Sie, dass es einen
Unterraum U ⊂ V gibt, so dass W1 ⊕ U = W2 ⊕ U = V gilt.

Comments

Du hast Mitglied Tschakabumba doch hier versprochen, deine zukünftigen Fragen derart zu stellen, dass zumindestens der Anschein erweckt wird, dass du dich mit der Aufgabe auseinander gesetzt hast.

Also: Was hast du dir überlegt? Wo hängt es? Verstehst du zumindstens im Kleinen, um was es geht?

Answer 1

Da V endlichdimensional ist, ist W dies auch und somit gibt es eine Basis

v1,v2,...,vn für W. Diese kann man durch vn+1,...,vm zu einer Basis von V

ergänzen.

Dann ist die lineare Hülle von vn+1,...,vm das gesuchte U.

Comments

Dann sollte U nach dir

{(a_n+1)*(v_n+1)+...+a_m*v_m¦a_n+1,...,a_m∈ℝ     ?

Wie zeigst du dann V = W⊕U?

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U={(an+1)*(vn+1)+...+am*vm¦an+1,...,am∈ℝ }

V = W⊕U?

ist begründet, wenn man zeigt:

Jedes El. von V lässt sich eindeutig als Summe

eines El aus W und eines aus U darstellen.

Sei v∈V und v1,...,vm die betrachtete Basis von V

Dann ist v eindeutig als Linearkombination dieser

Basisvektoren darstellbar.

a1v1+...+amvm = v

Wenn man diese Summe in zwei Teile teilt

a1v1+...vn + (an+1)*(vn+1)+...+am*vm = v

hat man die gewünschte Darstellung in W⊕U