Analysis. Mengen und Funktionen untersuche.

Question

Hallo Leute. Könnt ihr mir bei folgendem Beispiel helfen?

Aufgabe:

Seien \( X, Y, Z \) Mengen und \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \) Funktionen. Auberdem sei \( h=g \circ f: X \rightarrow Z \) die Verknüpfung von \( g \) und \( f \) gegeben durch \( h(x)=g(f(x)) \)

(a) Beweisen Sie: Sind \( f \) und \( g \) injektiv, so ist auch \( h \) injektiv.

(b) Beweisen Sie: Sind \( f \) und \( g \) bijektiv, ist auch \( h \) bijektiv. Geben Sie eine Formel für \( h^{-1} \) an.

(c) Wenn \( f \) nicht surjektiv und \( g \) surjektiv ist, was kann man dann über \( h \) sagen?

Frage: Kann man in (a) oder (b) eine der Voraussetzungen weglassen? Gelten in
(a) oder (b) auch die umgekehrten Implikationen?

Lg und

Comments

Wo bleibt dein Beitrag? wo liegen deine Schwierigkeiten? So Aufgaben dienen dazu besser mit den Begriffen injektov, subjektiv, objektiv umzugehen, wenn wir was dazu aufschreiben hast du ja nix geübt und gelernt.

aber wir korrigieren gern deine Beweise.

Gruß lul

Answer 1

a) etwa so:  Seien f, g injektiv. Und seien a,b aus X mit

h(a) = h(b) .

Zum Nachweis der Injektivität von h musst du daraus a=b

folgern.

Das könnte so gehen:

h(a) = h(b)

==>  g(f(a)) = g(f(b))

Weil g injektiv ist, folgt daraus f(a) = f(b) .

Weil f injektiv ist folgt daraus a=b .  q.e.d.

Versuche die anderen Teile mal selbst.