Grenzwertberechnung mit tan

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \tan x}{x^{2}-x+\tan x} \)

Problem/Ansatz:

Habe das tanx aus dem Bruch ausgezogen, sodass es nur noch einmal vorkommt. Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter, wie ich dort den Grenzwert ausrechnen kann.

Comments

L'Hospital könnte weiterhelfen.

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Oder Reihenentwicklung.$$\lim_{x\to0}\frac{x\tan x}{x^2-x+\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2+\frac13x^4+\frac2{15}x^6+\cdots}{x^2+\frac13x^3+\frac2{15}x^5+\cdots}=\lim_{x\to0}\frac{1+\frac13x^2+\frac2{15}x^4+\cdots}{1+\frac13x+\frac2{15}x^3+\cdots}=1.$$

Answer 1

Hallo,

für \(|x|\ll 1\) gilt die Kleinwinkelnäherung \(\tan x\approx x\). Beim Grenzübergang kannst du also durchaus damit abschätzen.$$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \tan x}{x^{2}-x+\tan x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^{2}-x+x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2}=1$$

Comments

Haha lol und das gilt vermutlich bei tan immer bei x-> 0 oder?

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Freu dich nicht zu früh: So wie ich das gemacht habe, ist das ziemlich lässig, nicht zwigend sehr formal. Studierst du reine Mathematik, solltest du vorsichtig mit sowas sein. Aber dieser Grenzwert hat die Kleinwinkelnäherung schon sehr provoziert, weil es keinen schnell ersichtlich "eleganten" Weg gibt und die Regel von L'Hopital schrecklich viele Voraussetzungen braucht, die man alle formal zeigen müsste.

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Man muss hier nichts "abschätzen". Es genügt die Kenntnis von \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1\) und \(\lim \limits_{x \rightarrow 0}cos(x)=1\).

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Sagt dir mit \(f(x)=\sin(x)\) und \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) was über \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\) und die daraus folgende Redundanz von \(\lim \limits_{x \rightarrow 0}\cos(x)=1\)?

Überkompliziert es das Problem nicht?

Answer 2

Hallo,

Du hast den Fall 0/0 . Falls Du L'Hospital benutzen darfst, mußt Du die Regel 2 mal anwenden. Das Ergebnis ist dann 1.

Comments

Bei mir kommt am Ende 3tan²+4 / 2tan²+4. Wie lautet dein vorletztes Ergebnis.

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Ah nvm tan²(x) der Grenzwert ist ja null. Habe ja dann 4/4 = 1. Vielen Dank

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Hallo,

meine Berechnung: