Kombinatorik: Gäste auf Party; verschiedene Fragestellungen zu Möglichkeiten

Question

hab von der Uni einen Übungszettel zu bearbeiteten und ich komm bei 2 Aufgaben einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch dabei helfen..

Zu Beginn der Aufgabe wird erklärt, dass 24 Personen auf einer Party anwesend sind.

a) Zu Beginn wird paarweise (also jeder mit jedem) mit Sekt- Gläser angestoßen. Wie oft erklingt jedes Glas?

Mein Ansatz: 1/2 * n * (n-1)

Also 0,5 * 24 * 23= 256 Mal erklingt jedes Glas

Stimmt das soweit?

b) Drei Personen nehmen ihre Mäntel mit auf die Couch, die restlichen werden in einer Reihe nebeneinander aufgehängt. Wie viele verschiedene Garderobenordnungen sind denkbar?

Mein Ansatz: 24-3= 21 Gäste hängen die Kleidungsstücke auf

21*21*21*....*21 (insgesamt 21 Möglichkeiten, dass die Mäntel aufgehängt werden können)= 21^21 Möglichkeiten

Stimmt das auch soweit?

c) Es ist bekannt, dass alle Anwesenden entweder in Österreich, Deutschland, der
Schweiz oder Italien geboren wurden. Wie viele Möglichkeiten bestehen, wenn
die Herkunft aller Personen geraten wird? Hier soll nicht nur beachtet werden,
wie viele Personen aus den einzelnen Ländern kommen, sondern auch, um welche
Personen es sich handelt.

Hier habe ich keine Ahnung wie ich da anfangen soll..

d)  Während der Party bekommt jeder Gast ein Gewinnlos. Fünf der Gäste können
ein Freigetränk gewinnen. Wie viele mögliche Gewinnergruppen gibt es?

Ebenso bei dem kann ich mir keinen Lösungsansatz vorstellen.

Ich bin für jede erdenkliche Hilfe dankbar!! :)

Comments

a) Zu Beginn wird paarweise (also jeder mit jedem) mit Sekt- Gläser angestoßen. Wie oft erklingt jedes Glas?

Ja, das stimmt. Alternativ verwendet man den Binomialkoeffizient:$$\begin{pmatrix} 24 \\ 2 \end{pmatrix}=276$$

b) Drei Personen nehmen ihre Mäntel mit auf die Couch, die restlichen werden in einer Reihe nebeneinander aufgehängt. Wie viele verschiedene Garderobenordnungen sind denkbar?

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c) Es ist bekannt, dass alle Anwesenden entweder in Österreich, Deutschland, der Schweiz oder Italien geboren wurden. Wie viele Möglichkeiten bestehen, wenn die Herkunft aller Personen geraten wird? Hier soll nicht nur beachtet werden, wie viele Personen aus den einzelnen Ländern kommen, sondern auch, um welche Personen es sich handelt.

Jede der 24 Personen kann eine der vier genannten Nationalitäten haben. Pro Person also 4 Möglichkeiten, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt$$\begin{pmatrix}k+n-1 \\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+24-1 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 27 \\ 4 \end{pmatrix}=17550$$

d)  Während der Party bekommt jeder Gast ein Gewinnlos. Fünf der Gäste können ein Freigetränk gewinnen. Wie viele mögliche Gewinnergruppen gibt es?

\(\begin{pmatrix} 24  \\5 \end{pmatrix}=42504\)

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Ich danke dir für die Korrektur meiner falschen Berechnung aber auch für die Lösung der anderen 2 Fragestellungen. Wenn man sich deine Ergebnisse ansieht, merkt man, wie einfach es doch sein kann. Ich habe viel zu kompliziert gedacht.

Danke sehr! :)

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Hast du gesehen, dass du bei der a) zwar den richtigen Ansatz wählst, nicht aber auf das richtige Ergebnis kommst? (Taschenrechnereingabe falsch)

Habe bei der c) noch etwas verändert.

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b sollte noch zu Ende gedacht werden.

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Da hast du recht - das ist bei genauerer Betrachtung nicht ganz richtig, da ja immer drei verschiedene Personen, sich dazu entscheiden können, ob sie ihren Mantel mit auf die Couch nehmen - gut gesehen.

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Würde alternativ 24! anbieten, weil man die drei auf der Couch im kombinatorischen Blick auch nur als Optionen betrachten kann. Im kombinatorischen Sinne ist es egal, ob man die auf die Couch nimmt oder ob man sie in die Garderobe hängt.

Edit: Auf der Couch macht es aber keinen Unterschied in der Reihenfolge

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Bei b) und c) würde ich anders rechnen. Da solltest du eventuell nochmals überlegen, ob das so korrekt ist.

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Danke ad a) hab da tatsächlich 276 auf meinem Blatt stehen, ein blöder Eingabefehler

ad b) also doch nicht so einfach. Ich denke, dass die drei Personen statisch sind und die restlichen 21 Personen ihre Mäntel in die Garderobe hängen (müssen).

Daher ist meine Idee dazu:

Gast 21: 21 Möglichk.

Gast 20: 20 Möglichk.

....

Gast 2: 2 Möglichk.

Gast 1: 1 Möglichk.

Ergo: 21!/(21-21)!= 21!/0!= 21!/1!= 21!  ?

Ad c) steig ich sogar bei der Lösung aus, kannst du mir kurz erklären, wie du auf diese Formel kommst? :)

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Das war dann auch das letzte Mal, dass ich so voreilig auf Kombinatorik-Fragen antworte.

Answer 1

Hier meine Alternativen Lösungsmöglichkeiten

a) 276 Möglichkeiten

b) 103.4·10^21 = 103.4 Trilliarden Möglichkeiten

c) 281.5·10^12 = 281.5 Billionen Möglichkeiten

d) 42504 Möglichkeiten

Comments

c) 4^(24) Möglichkeiten habe ich zuerst gedacht, aber kann das sein? Das würde doch bedeuten, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt, aber es ist doch egal, in welcher Reihenfolge die Nationalität der Personen vermutet wird.

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Hier soll nicht nur beachtet werden, wie viele Personen aus den einzelnen Ländern kommen, sondern auch, um welche Personen es sich handelt.

Wenn es egal wäre welche Person jeweils aus welchem Land kommt, wäre es ohne Beachtung der Reihenfolge. Hier gibst du aber die Tipps genau in der Reihenfolge der Gäste an.

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Danke für die Lösungen. Kannst du mir verraten, wie du bei b) auf das Ergebnis kommst? :)

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@Phillipp17

Und bei der b) rechnest du 21!*(24 über 3). Das denke ich auch.

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Was ich immer wichtig finde. Stell dir das nicht mit 24 Personen vor, sondern z. B. mit 5 Personen. 3 nehmen ihren Mantel mit an den Platz und 2 hängen den Mantel auf. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt.

Also vereinfache das Problem. Die angewendete Formel sollte sowohl für 5 als auch für 24 Leute funktionieren, wenn sie richtig ist.

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Hab heute die Auflösung erhalten:
bei b) ist die Lösung 21!

und bei c) tatsächlich 4^24

Danke nochmal für eure Hilfe! :)

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21! Möglichkeiten wäre meiner Meinung nach nur korrekt, wenn immer wieder die gleichen drei Gäste auf die Couch gehen, weil sie z. B. eine Zwangsneurose haben, ihren Mantel niemals ablegen zu wollen. Geht man nicht davon aus, müsste Mathecoachs Lösung stimmen, denn es ist maßgeblich für die Anzahl der Möglichkeiten, welche Mäntel nicht in der Garderobe aufgehängt werden bzw. stellt es eine neue Möglichkeit dar, wenn statt Ulf, Peter und Martin doch Kevin, Luis und Eugen ihren Mantel mit auf die Couch nehmen.

Denn eine Garderobe mit den Mänteln von Ulf, Peter und Martin ist anders als eine Garderobe mit den Mänteln von Kevin, Luis und Eugen.