Finde x und y aus den Gleichungen

Question

Aufgabe:

Finde x und y aus den Gleichungen:

$$(1)\quad \frac{x}{a+b}+\frac{y}{a-b}=2a$$

$$(2)\quad \frac{x}{a-b}-\frac{y}{a+b}=2b$$

Problem/Ansatz:

Jedes Umstellen meinerseits führt auf riesige und auf den ersten Blick nicht zusammenfassbare Terme. Jedoch soll am Ende $$x=y=a^2-b^2$$ die Lösung sein. Kann mir jemand einen einfachen Lösungsweg liefern? Wie bereits erwähnt habe ich die erste Gleichung bereits nach x aufgelöst und dies dann versucht in die zweite Gleichung einzusetzen ... katastrophe :(

Answer 1

Finde x und y aus den Gleichungen:
1)
$$\quad \frac{x}{a+b}+\frac{y}{a-b}=2a$$
2)
$$\quad \frac{x}{a-b}-\frac{y}{a+b}=2b$$1)$$y=2a(a-b)- \frac{a-b}{a+b} *x$$2)$$y=-2b(a+b)+ \frac{a+b}{a-b} *x$$1)=2)$$(\frac{a+b}{a-b} +\frac{a-b}{a+b}) *x=2a(a-b)+2b(a+b)$$$$\frac{2(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)}*x=2(a^2+b^2)$$$$x=a^2-b^2$$

In 1) einsetzen

$$\quad \frac{(a^2-b^2)}{a+b}+\frac{y}{a-b}=2a$$$$\quad \frac{y}{a-b}=a+b$$$$y=a^2 - b^2=x$$

Comments

Ärgerlich, dass ich nicht selber drauf gekommen bin. Wieder etwas dazugelernt ;)

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Gerne geschehen.

:-)

Answer 2

Hallo

am besten mit dem Hauptnenner a²-b² multiplizieren, die 2 entstehenden Gleichungen dann einmal addieren, einmal subtrahieren

Gruß lul

Comments

Und,was mache ich dann mit den beiden entstehenden Gleichungen? Nach einer Variablen auflösen und dann in die andere einsetzen?

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Hallo lul,

Ich denke , y separieren und gleichsetzen geht schneller.

Gruß, Hogar

Answer 3

(1) $\frac{x}{a+b} + \frac{y}{a-b} = \frac{x(a-b)+y(a+b)}{a^2-b^2} = 2a$

(2) $\frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = \frac{x(a+b)-y(a-b)}{a^2-b^2} = 2b$

Addieren von (1) und (2) liefert

$\frac{x(a-b)+y(a+b)+x(a+b)-y(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{x\cdot (a-b+a+b)+y\cdot (a+b-a+b)}{a^2-b^2} = \frac{x\cdot 2a + y\cdot 2b}{a^2-b^2}=2(a+b)$.

Daraus folgt

$\frac{x\cdot a + y\cdot b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)\cdot (a^2-b^2)}{a^2-b^2} \Rightarrow x\cdot a + y\cdot b = (a+b)\cdot (a^2-b^2) \Rightarrow x= \frac{(a+b)(a^2-b^2)-y\cdot b}{a}$.

Analog führt das Subtrahieren von (1) und (2) auf die Gleichung

$-x\cdot b + y\cdot a = (a-b)\cdot (a^2-b^2)$.

Einsetzen ergibt dann

$-b(a+b)(a^2-b^2)+y(b^2+a^2) = a\cdot (a-b)\cdot (a^2-b^2)$ und nach Umstellen

$y(a^2+b^2) = (a^2-b^2)\cdot (a\cdot (a-b)+b\cdot (a+b)) = (a^2-b^2)\cdot (a^2+b^2) \\\Rightarrow y=a^2-b^2$.

Nun folgt $x=\frac{(a+b)(a^2-b^2)-(a^2-b^2)\cdot b}{a} = \frac{(a^2-b^2) \cdot a}{a} = a^2-b^2$.

Comments

Danke für deinen Lösungsvorschlag!