Zeige, dass aus der Vereinigung zweier σ-Algebren F_1,F_2 über Ω nicht wieder

Question

Aufgabe:

Sei Ω = {1,2,3}. Zeige, dass aus der Vereinigung zweier σ-Algebren F_1,F_2 über Ω nicht wieder
eine σ-Algebra über Ω entstehen muss.

Hallo Leute, Könntet ihr mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen? das ist vom Fach Stochastik.

Vielen Dank im Voraus! :))

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra#Vereinigungen_von_%CF%8…

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Hast du schon einmal versucht, dir zwei einfache Sigma-algebren über der gleichen Grundmenge zu nehmen und sie einfach mal zu vereinigen? Ich kann dir sagen dass die entstehende Vereinigung sehr wahrscheinlich keine Sigma-algebra sein wird.

Answer 1

Hallo,

zunächst betrachten wir einmal folgende $\sigma$-Algebren:

$\mathcal{F}_1=\{\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.

$\mathcal{F}_1$ ist eine $\sigma$-Algebra, weil

1.) $\emptyset, \Omega \in \mathcal{F}_1$

2.) $\{1\}^C = \Omega \setminus \{1\} = \{2,3\} \in \mathcal{F}_1$ und $\{2,3\}^C=\Omega \setminus \{2,3\} = \{1\} \in \mathcal{F}_1$

3.) $\{1\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\} = \Omega \in \mathcal{F}_1$

$\mathcal{F}_1$ ist also eine Sub-$\sigma$-Algebra.

Weiter sei $\mathcal{F}_2=\{\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$. Dieses Mengensystem ist ebenso, in analoger Vorgehensweise, eine Sub-$\sigma$-Algebra.

Betrachten wir nun die Vereinigung dieser beiden Mengensysteme $\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2=\{\{1\},\{2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$ so sind die beiden ersten Bedingungen einer $\sigma$-Algebra erfüllt, wie man leicht nachprüft. Jedoch ist die Bedingung 3.) verletzt, denn

$\{1\} \cup \{2\} = \{1,2\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2$.

Also ist die Vereinigung von $\sigma$-Algebren i.d.R keine $\sigma$-Algebra $\square$

Comments

@Maaarkus

Dankeschön! :)

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@Maaarkus   Ich konnte noch zwei Aufgaben von Algebra nicht lösen, die sehr schwer für mich sind. Könntest du mir bitte helfen die zu lösen wenn du ja Idee hättest? Vielen Dank im Voraus! :)