Zeige: P(A^C ∩ B^C) +P(A) +P(A^C ∩ B) = 1, (b) P(A ∩ B) − P(A)P(B) = P(A^C ∩ B^C) − P(A^C)P(B^C)

Question

Aufgabe:

Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitstraum und seien A,B ∈ F. Zeige:
(a) P(A^C ∩ B^C) +P(A) +P(A^C ∩ B) = 1,
(b) P(A ∩ B) − P(A)P(B) = P(A^C ∩ B^C) − P(A^C)P(B^C).

Hallo Leute, Könntet ihr mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen? das ist vom Fach Stochastik.

Vielen Dank im Voraus! :))

Answer 1

Aloha ;)

(a) Hier bietet es sich an, bei dem komplexen Ausdruck zu beginnen und ihn zu vereinfachen.$$\phantom{=}P(A^\complement\cap B^\complement)+P(A)+P(A^\complement\cap B)$$$$=P((A\cup B)^\complement)+P(A)+P(B)P(A^\complement|B)$$$$=1-P(A\cup B)+P(A)+P(B)\left(1-P(A|B)\right)$$$$=1-P(A\cup B)+P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)$$$$=1-P(A\cup B)+\underbrace{P(A)+P(B)-P(A\cap B)}_{=P(A\cup B)}$$$$=1-P(A\cup B)+P(A\cup B)$$$$=1$$

(b) Hier gehen wir von der rechten Seite mit den Komplementen aus und überführen sie in die linke Seite:

$$\phantom{=}P(A^\complement\cap B^\complement)-P(A^\complement)P(B^\complement)$$$$=P((A\cup B)^\complement)-P(A^\complement)P(B^\complement)$$$$=(1-P(A\cup B))-(1-P(A))\,(1-P(B))$$$$=1-P(A\cup B)-(1-P(A)-P(B)+P(A)P(B))$$$$=\underbrace{-P(A\cup B)+P(A)+P(B)}_{=P(A\cap B)}-P(A)P(B)$$$$=P(A\cap B)-P(A)P(B)$$

Comments

Vielen Dank! für deine Hilfe! :)

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@Tschakabumba

Ich habe noch zwei Aufgaben vom Fach Algebra, die ich nicht machen konnte, weil die wirklich schwer für mich sind. Könntest du mir bitte helfen sie zu lösen, wenn du ja Idee hättest?

Vielen Dank im Voraus!

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Klar können wir dir bei diesen Aufgaben helfen. Wir versuchen allerdings pro Thread immer nur eine Frage zu beantworten, damit wir sie besser archivieren können und andere sie später besser finden können

Würdest du daher bitte diese Frage zu Wahrscheinlichkeiten hier abschließen und die beiden Fragen zur linearen Algebra jeweils als eigene Fragen im Forum stellen?

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Ja habe ich schon :)

https://www.mathelounge.de/762865/zeigen-dass-eine-gruppe-zeigen-dass-gruppenhomomorphismen

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Und da

https://www.mathelounge.de/762846/bestimmen-komplexen-zahlen-zeigen-unendliche-untergruppe

Vielen Dank im Voraus! :)))

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@Tschakabumba


Könntest du mir bitte helfen die Aufgaben zu lösen oder hast du keine Idee?

:)

Answer 2

Bei a) kannst du auch so argumentieren:

Die drei Mengen A^C ∩ B^C  , A  ,  A^C ∩ B

sind paarweise disjunkt, also gilt

P(A^C ∩ B^C) +P(A) +P(A^C ∩ B) =

P(  (A^C ∩ B^C)   ∪ A   ∪ (A^C ∩ B) ) 

Und mit Hilfe der Gesetze der Mengenalgebra zeigen,

dass dies gleich P(Ω) also gleich 1 ist. Etwa so:

(A^C ∩ B^C)  ∪ A ∪ (A^C ∩ B)

= (A^C ∩ B^C)  ∪ (A^C ∩ B)   ∪ A

= (    A^C ∩  ( B^C ∪ B)   )   ∪ A

= (    A^C ∩  Ω )  ∪ A

=  A^C   ∪ A       =    Ω

Comments

Vielen Dank! für deine Hilfe! :)

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@mathef

Könntest du mir bitte diese Aufgaben zu machen? Die sind wirklich schwer für mich und ich muss die morgen abgeben :(

https://www.mathelounge.de/762865/zeigen-dass-eine-gruppe-zeigen-dass-gruppenhomomorphismen

https://www.mathelounge.de/762846/bestimmen-komplexen-zahlen-zeigen-unendliche-untergruppe

Vielen Dank im Voraus! :)))