Wie schaffe ich den Schluss das sich mein \frac{1-x}{1+(n+1)x} ergibt?| Vollständige Induktion Ungleichung

Question

Aufgabe:

Für 0 < x < 1 und n ∈ ℕ gilt (1-x)ⁿ < \( \frac{1}{1+nx} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab die Aufgabe zwar schon gefunden hier im Forum, leider komme ich mit den Ansätzen immer noch nicht weiter...

Bist jetzt bin ich soweit:

Induktionsannahme mit n=1

1-x < \( \frac{1}{1+x} \)  → wahr für 0<x<1

Induktionsvoraussetzung:

∃n∈ℕ n≥1: (1-x)ⁿ < \( \frac{1}{1+nx} \)

Induktionsbehauptung:

(1-x)ⁿ⁺¹ < \( \frac{1}{1+(n+1)x} \)

Induktionsschritt:

(1-x)ⁿ⁺¹ = (1-x)ⁿ · (1-x)¹  < \( \frac{1}{1+nx} \) · (1-x)

             = (1-x)ⁿ · (1-x)¹ < \( \frac{1-x}{1+nx} \)

Und genau da hänge ich... Wie schaffe ich den Schluss das sich mein \( \frac{1}{1+(n+1)x} \) ergibt?

Wäre super wenn mir da jemand den Schubs in die richtige Richtung geben kann...

LG

Answer 1

z.Z.: \(\frac{1-x}{1+nx} < \frac{1}{1+(n+1)x} \Leftrightarrow (1-x)\cdot (1+nx+x) < 1+nx \Leftrightarrow -nx^2-x^2 = -x^2(n+1)<0\)

Letzteres gilt offenbar, da \(-x^2<0\) für \(x>0\) und \(n+1\geq 2 > 0\).

Comments

Vielel Vielen Dank!

Es hat einfach nur an den grundlegensten Sachen gehakt....

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Könntest du bitte erklären, warum man den Ansatz so aufstellen darf?

(1-x)/(1+nx) und 1/(1+(n+1)x)) sind ja beides Umformungen aus dem rechten Teil der Ungleichung (ursprünglich 1/(1+nx)). Wieso kann der linke Teil dadurch ersetzt werden?