Ermitteln Sie im Intervall (−2, 0) eine geschlossene Darstellung für die Funktion

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie im Intervall (−2, 0) eine geschlossene Darstellung für die Funktion

\( f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}{(n+\frac{1}{n}) · (x+1)^n}  \)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht abzuleiten und es kam mir auch in gedanken e anzuwenden aber ich komme leider nicht weiter. Was genau muss ich tun?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Jedoch habe ich keinen Ansatz, könnte ich eine ausführliche erklärung für die Aufgabe haben?

Stichworte: funktion,reihen,potenzreihe,analysis

Aufgabe:

f(x) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \) (n+ 1/n)*(x+1)^n

Intervall I = (-2,0)

Problem/Ansatz:

guten Tag allerseits, ich habe diese Aufgabe vor mir und weiß leider nicht wie ich vorangehen soll.

Ich weiß dass dass Summenzeichen weg soll und dass ich eventuell auf und ableiten muss. Jedoch habe ich keinen Ansatz, könnte ich bitte eine ausführliche erklärung für die Aufgabe haben?

Vielen Lieben Dank

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Was ist die Aufgabenstellung?

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Ou man hab voll vergessen die Aufgabenstellung anzugeben.

Ich soll die geschlossenen Form im intervall (-2,0) angeben.

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...von einer Funktion, die für die natürlichen Zahlen definiert worden ist?

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Ja ich denke. Also ohne komplexe.?

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insbesondere auch ohne negative Zahlen

Answer 1

Aloha :)

Zu berechnen ist eine geschlossene Darstellung für:$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(n+\frac{1}{n}\right)\cdot(x+1)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\underbrace{\frac{n^2+1}{n}}_{=:a_n}\cdot(x+1)^n\quad;\quad x\in]-2;0[$$Wir untersuchen zunächst den Konvergenzradius der Funktion:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n^2+1}{n}}{\frac{(n+1)^2+1}{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+1}{n}\cdot\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\cdot\frac{n+1}{n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{1+\frac{1}{n^2+1}}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right|=1$$Der Konvergenzradius ist also \(r=1\), daher konvergiert die Summe, wenn:$$|x+1|<r=1\quad\Leftrightarrow\quad-1<x+1<1\quad\Leftrightarrow\quad-2<x<0$$Die Summe konvergiert also für alle \(x\in]-2;0[\). Wir können daher die Summe aufteilen:

$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^n+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+1)^n}{n}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^{n-1}+\frac{(x+1)^1}{1}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(x+1)^n}{n}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^{n-1}+(x+1)+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{d}{dx}\left((x+1)^n\right)+(x+1)+\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{-1}^x(\tilde x+1)^n\,d\tilde x$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty(x+1)^n\right)+(x+1)+\int\limits_{-1}^xd\tilde x\sum\limits_{n=1}^\infty(\tilde x+1)^n$$

Wegen \(x\in]-2;0[\) können wir \(q\;:\!=(x+1)\) definieren, das dann im Intervall \(]-1;1[\) liegt. Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }q\in]-1;1[$$finden wir für unsere unendliche Summe:$$\sum\limits_{n=1}^\infty(1+x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(1+x)^n-(1+x)^0=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n-1=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}$$$$\phantom{\sum\limits_{n=1}^\infty(1+x)^n}=\frac{q}{1-q}=\frac{x+1}{1-(x+1)}=-\frac{x+1}{x}=-1-\frac{1}{x}$$

Damit können wir die Funktion \(f(x)\) weiter vereinfachen:$$f(x)=(x+1)\frac{d}{dx}\left(-1-\frac{1}{x}\right)+(x+1)+\int\limits_{-1}^xd\tilde x\left(-1-\frac{1}{\tilde x}\right)$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\,\frac{1}{x^2}+(x+1)+\left[-\tilde x-\ln|\tilde x|\right]_{-1}^x$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\frac{1}{x^2}+(x+1)-x-\ln|x|-1$$$$\phantom{f(x)}=\frac{x+1}{x^2}-\ln|x|$$Wegen \(x\in]-2;0[\) bzw. \(x<0\) können wir die Betragsstriche noch loswerden:$$\boxed{f(x)=\frac{x+1}{x^2}-\ln(-x)}\quad;\quad x\in]-2;0[$$

Comments

Ich dachte, du wolltest die Herleitung haben...

Wenn dir einfach nur das fertige Ergebnis reicht, schreib das doch bitte in Zukunft in die Aufgabe, dann kann ich mir die ganze Mühe sparen.

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Danke, ich habe zwar nicht die Frage gestellt, doch trotzdem. Wenn es gestattet ist, habe ich aber noch eine Frage: Wie kommst du beim Integral auf die Grenze von -1 bis x?

Gruß, Hogar

(Es ist alles schon so lange her.)

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Die obere Grenze \(x\) ist klar. Die untere Grenze habe ich so gewählt, dass exakt der benötigte Ausdruck rauskommt:$$\int\limits_{-1}^x(\tilde x+1)^n\,d\tilde x=\left[\frac{(\tilde x+1)^{n+1}}{n+1}\right]_{\tilde x=-1}^x=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}-0$$

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Danke, wenn es da so steht, ist es klar.

Answer 2

Ich habe einfach einmal nachgeschaut, was Wolf RamAlpha dazu sagt. Und siehe da:

Eingabe:  Sum [(n+1/n)*(x+1)^n], n=1to Infinity

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum+%5B%28n%2B1%2Fn%29*%28x%2B1%29%5En%5D%2C+++n%3D1to+Infinity

Answer 3

Hallo,

der Koeffizient ist ein wenig verwirrend, ich gehe mal von \(n^2+1\) aus. Falls es anders ist gehst Du analog vor:

Ausgangspunkt ist die geometrische Reihe:

$$\sum_{n=0}^{\infty}(1+x)^n=-\frac{1}{x}$$

Durch Differenzieren folgt:

$$\sum_{n=^1}^{\infty}n(1+x)^{n-1}=-\frac{1}{x^2}$$

Durch Multiplikation mit \(1+x\):

$$\sum_{n=^1}^{\infty}n(1+x)^{n}=-\frac{1+x}{x^2}$$

Durch Differenzieren:

$$\sum_{n=^1}^{\infty}n^2(1+x)^{n-1}=-\frac{x^2-2x(1+x)}{x^4}$$

Erneutes Multiplizieren mit \(1+x\) liefert Dir die Reihe mit den Koeffizienten \(n^2\). Das musst Du dann noch alles zusammensetzen und ausrechnen..,

Gruß