Hat von euch jemand eine Idee?

Question

ich hätte eine kurze Verständnisfrage zur Linearen Algebra,

ich frage mich, ob folgende Implikation korrekt ist:

$$ Sei K = \mathbb{C} \text{ oder } \mathbb{R}$$

$$\text{ Eine Matrix } A \in Mat_n(K) \text{ ist trigonalisierbar } \Longleftrightarrow \text{ A besitzt eine Jordan-Normalform } $$

Bzw. A ist zu einer Darstellung in JNF konjugiert.

Ich weiß, dass $$ "\Longrightarrow" $$ gelten muss, denn wenn A trigonalisierbar ist, zerfällt das charakteristische Polynom von A und damit folgt die Existenz der JNF.

Was mir nicht klar ist, ist ob auch $$ "\Longleftarrow" $$ gilt.

Eigentlich sollte es schon so sein, denn Voraussetzung für die Existenz der JNF ist ja, dass das charakteristische Polynom der Matrix zerfällt, aber ich habe schon an verschiedenen Stellen gehört, dass es keinen direkten Zusammenhang gibt. Hat von euch jemand eine Idee ?

LG

Answer 1

Schau dir mal die Jordan-Normalform ganz genau an, das ist immer eine Dreiecksmatrix. D.h. eine Matrix ist - falls sie eine JNF besitzt - immer ähnlich zu einer Dreiecksmatrix, was gerade die Definition der Trigonalisierbarkeit ist.

Comments

Klar, das macht Sinn!

Danke :)