Wie zeige ich, dass ein Polynom das Taylorpolynom einer Funktion ist?

Question

Aufgabe: Es seien I ⊂ R ein Intervall, f : I → R eine (n + 1)-mal in I stetig differenzierbare Funktion und y ∈ I ein innerer Punkt von I. Betrachten wir ein Polynom P, dessen Grad höchstens n ist, und für welches eine Konstante M und eine Umgebung U(y) von y existieren, sodass |f(x) − P(x)| ≤ M|x − y|^n+1

fur alle x ∈ U(y). Zeigen Sie, dass P das n-te Taylor-Polynom von f um y ist.

Problem/Ansatz: Mein Problem ist nun, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich zeigen kann, dass das Polynom die Taylorreihe darstellt? Weil wenn ich die Ungleichung betrachte, dann sieht diese nach einer Abschätzung des Restgliedes aus, falls P(x) das Polynom darstellt. Inwiefern kann ich aber damit die Aufgabe lösen? Muss ich nun schauen, ob entsprechend ich mit der Ungleichung das Restglied abschätzen kann, sodass ich zeige, dass es für n gegen unendlich gegen 0 kvgt?

Comments

Vielleicht geht sowas:

Wenn T das Taylorpolynom ist, gilt ja auch:

(mit den entsprechenden Vorgaben wie oben)

Es gibt ein K (welches in der Restgliedformel von

Lagrange näher bestimmt ist ) mit

| f(x) - T(x) | ≤ K*| x-y | ^(n+1) . #

Zusammen mit der Vorgabe (Das +1

gehört doch wohl zum Exponenten ?) hast du dann

|f(x) − P(x)| ≤ M|x − y|^(n+1)  ##

Dreiecksungleichung gibt

| P(x)-T(x) | = | f(x) - T(x) - ( f(x) − P(x) ) |

               ≤  | f(x) - T(x) | +  |f(x) − P(x)|

zusammen mit # und ## also

            ≤ (K+M) *|x − y|^(n+1) .

Und damit kann man vielleicht

(Ich weiß grad nicht genau wie) zeigen,

dass P(x)-T(x) das 0-Polynom sein muss.

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Vielen Dank erstmal für den Lösungsvorschlag/Ansatz. DIe Herangehensweise verstehe ich soweit. Ich überleg mal weiter, ist keine so einfache Aufgabe :/

Answer 1

Hallo,

wir greifen den Vorschlag von mathef auf. Das Taylor-Polynom ist ja als Polynom in Potenzen von \(t:=x-y\) formuliert. Auch das Polynom P können wir so umschreiben. Für die Differenz \(T-P=:Q\) gilt dann

$$|Q(t)|= |a_0+\sum_{i=1}^n a_it^i| \leq (K+M)|t|^{n+1}$$

Nun lassen wir \(t \to 0\) gehen und erhalten: \(a_0=0\). Weiter:

$$|\frac{1}{t} Q(t)|= |a_1+\sum_{i=2}^n a_it^{i-1}| \leq (K+M)|t|^{n}$$

Lassen wir \(t \to 0\) gehen, folgt \(a_1=0\)

...

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Erklärung und habe soweit alles verstanden.Sie sind aber nicht der echte Mathepeter von Youtube oder? ;)

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Nein, ich bin der echte MathePeter von Mathelounge