Aufgabe aus einer Kombinatorik Klausur

Question

Aufgabe:

Sei a_n die Anzahl aller ungeordneter Zahlpartitionen n = p₁ + ... + p_r mit p_i ∈ {1, 2, 5}

Zeigen Sie, dass \( \frac{1}{1-x} \) • \( \frac{1}{1-x^2} \) • \( \frac{1}{1-x^5} \) = ∑∞_n=0 a_nxⁿ für x ∈ ℝ und |x| < 1 

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe in einer Klausur gehabt und habe sie falsch beantwortet. Jetzt würde ich gerne wissen wie sie richtig gelöst wird. Leider haben wir keine Lösung zu der Klausur bekommen.

Answer 1

Hallo,

es ist ein wenig die Frage, was genau als erwartet wird, bzw. was in der Vorlesung besprochen wurde.

Die linke Seite ist ja

$$\sum_{i=0}^{\infty}x^i \cdot \sum_{j=0}^{\infty}x^{2j} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}x^{5k}= \sum_{(i,j,k) \in I}x^{i+2j+5k}$$

Mit \(I=\mathbb{N}_0^3\). Die rechte Summe sortiert man dann nach Potenzen von x. Sein Summand trägt zu \(x^n\) bei genau dann, wenn \(i+2j+5k=n\) ist, also kommt \(x^n\) genau \(a_n\)-mal vor.

Gruß

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Vielen Dank für die Antwort!