Zeige, dass für alle reellen Zahlen a,b > 0 gilt

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen und mir einen Lösungsweg aufzeigen?.

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Die Aufgabe lautet:

Zeige, dass für alle reellen Zahlen \( a, b>0 \) gilt: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$$

Answer 1

Hallo,

a/b +b/a >=2 |*ab

a^2 + b^2 >= 2ab

a^2 -2ab +b^2 >= 0

(a - b)^2 >= 0

Das stimmt immer.

Alternativ: betrachte die Funktion

f: R_+ -> R_+

x -> x+1/x

und zeige, dass bei x=1 das globale Minimum der Funktion liegt.

Answer 2

\(\begin{aligned} &  & \frac{a}{b}+\frac{b}{a} & \geq2\\ & \iff & \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab} & \geq2\\ & \iff & \frac{a^{2}+b^{2}}{ab} & \geq2\\ & \iff & a^{2}+b^{2} & \geq2ab\\ & \iff & a^{2}-2ab+b^{2} & \geq0\\ & \iff & \left(a-b\right)^{2} & \geq0 \end{aligned}\)

Die Äquivalenz zwischen dritter und vierter Zeile gilt werden \(a,b>0\).