Wie muss a gewählt werden?

Question

Aufgabe:

Die fläche unter f(x) = x^2 über [0;4] soll durch die senkrechte gerade x=a im Verhältnis 1:7 geteilt werden.

Wie muss a gewählt werden?

Problem/Ansatz:

… Abend!

Ich habe bisher 2 Integrale berechnet.

0 bis 4 und 0 bis a

Erstes integral = 64/3

Zweites integral = 1/3a^3

Und ab dem Punkt weiß ich nicht weiter. Wie verrechne ich diese Punkte? Wie komme ich an a?

Answer 1

∫ (0 bis 4) (x^2) dx = 64/3

Wenn wir diese Fläche im Verhätnis 1:7 teilen bedeutet dies, dass die zweite Fläche genau 7 mal so groß ist wie die erste.

1 + 7 = 8

8/3 + 56/3 = 64/3

∫ (0 bis a) (x^2) dx = 8/3 → a = 2

Answer 2

Hallo

wenn du 1:7 teilen willst musst du in 8 Teile teilen d, h. dein Integral bis a muss 1/8 des Integrale bis 4 sein.

Gruß lul

Comments

Ich bin leicht verwirrt.

Wie genau sollte ich jetzt vorgehen?

Answer 3

Aloha :)

Die Fläche unter \(f(x)=x^2\) im Intervall \([0;4]\) beträgt:$$F_4=\int\limits_0^4x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^4=\frac{4^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{64}{3}$$Die Fläche unter \(f(x)=x^2\) im Intervall \([0;a]\) beträgt:
$$F_a=\int\limits_0^ax^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{a^3}{3}$$\(a\) soll so gewählt werden, dass die Fläche \(F_a\) die Gesamtfläche \(F_4\) im Verhältnis \(1\) zu \(7\) teilt:$$\frac{a^3}{3}=F_a\stackrel!=\frac{1}{1+7}F_4=\frac{1}{8}F_4=\frac{1}{8}\cdot\frac{64}{3}=\frac{8}{3}\quad\Rightarrow\quad a^3=8\quad\Rightarrow\quad a=2$$

Comments

Ich verstehe deinen Schritt, aber wieso nimmst du 64/3*1/8 und nicht *1/7?

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Wenn du eine Strecke im Verhältnis 1 zu 7 teilen sollst, hast du links 1 Meter und rechts 7 Meter. Die Strecke insgesamt ist aber 8 Meter lang.

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Verstehe alles bis zum Schritt, bei der man vom Flächeninhalt 8/3 zum a^3 = 8 kommt. Wie erschließt sich das?

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Du weißt, das Integral von 0 bis a hat einen Flächeninhalt von \( \frac{8}{3} \) .

\(\int \limits_{0}^{a}x^2=\frac{8}{3}\\\bigg[\frac{1}{3}\cdot x^3\bigg]^{a}_0=\frac{8}{3}\\ \frac{x^3}{3}=\frac{8}{3}\\x^3=8\\x=2\)

Answer 4

Verstehe alles bis zum Schritt, bei der man vom Flächeninhalt 8/3 zum a^3 = 8 kommt. Wie erschließt sich das?