Komplexe quadratische gleichung lösen

Question

Aufgabe: berechnen sie alle Lösungen z Element der komplexen zahlen der Gleichung

a) (z-3i)^2 = -2i

b) (z-4i)^2 = -2i

…

Problem/Ansatz: nach stundenlangem grübeln und verschiedensten Lösungswegen kam ich nicht auf eine realistische Lösung. Der Weg der mir am wahrscheinlichsten erscheint ist die p-q Formel aber auch hier komme ich nicht weiter.

z^2 - (6i)*z + (-9+2i)= 0

Comments

Tipp1: Nicht ausmultiplizieren.
Tipp2: Es ist -2i = (1-i)².

Answer 1

Welche beiden Möglichkeiten gibt es, -2i ebenfalls als Quadrat einer komplezen Zahl zu schreiben?

Comments

Wurzel aus (2i³)… oder?

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Du sollst die beiden komplexen Zahlen suchen, deren Quadrat -2i ergibt.

Vielleicht kannst du das in der trigonometrischen Form besser?

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Eine Lösung habe ich jetzt 1+2i

Aber gibt es noch weitere? Theoretisch ja schon weil es sich ja um eine quadratische Funktion handelt oder?

Answer 2

a)

$$(z-3i)^2 = -2i$$

b)

$$(z-4i)^2 = -2i$$

Die Frage ist doch, was ist die Wurzel aus

$$x^2=-2i$$$$x_1=-1+1i$$$$x_2=1-1i$$

a)

$$z_1-3i=-1+1i$$$$z_1=-1+4i$$$$z_2-3i=1-1i$$$$z_2=1+2i$$

b)

$$z_1-4i=-1+1i$$$$z_1=-1+5i$$$$z_2-4i=1-1i$$$$z_2=1+3i$$