Brechnen die folgenden Zahlen

Question

Aufgabe:Es seien z=3-i und w =1+2i , Brechnen sie die folgenden Zahlen:

a) z. w      b) w²    c) |w|       d) z³      e) |z|      f) z/w     g) w/z   h) z+_w

Problem/Ansatz: kann Jemand mir die aufgabe machen(Math)? Danke

Comments

"Kann jemand die Aufgabe machen" ist kein Problem oder Ansatz. Was hast du schon gemacht oder probiert zu machen und wo gibt es Probleme?

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Ich verstehe nicht, wie ich das lösen soll, ich habe lange nicht Mathe gelernt.

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Was habt ihr denn in der Vorlesung zum Thema komplexe Zahlen besprochen/aufgeschrieben? Durch die Vorlesung solltest du eigentlich die nötigen Definitionen für das Lösen dieser Aufgabe gesehen haben. Vielleicht habt ihr sogar ein Beispiel dazu gemacht.

Kleiner Tipp: Bedenke, dass $i^2=-1$ ist.

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Erste vorlesung war, hab Vl verpasst, kannst du mir vielleicht das machen ?

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Ich kann dir Tipps geben:

Der Betrag von einer komplexen Zahl $z$ kann wie folgt berechnet werden:
Sei $z= a + \mathrm{i}b\in \mathbb{C}$, dann ist $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2+b^2}$.

Die Rechenregeln von komplexen Zahlen sind ähnlich zu den normalen Rechenregeln in den reellen Zahlen, (die du kennst). Sei $z_1 = x_1 + y_1 \cdot i$ und $z_2 = x_2 + y_2 \cdot i$, dann gilt: $$\begin{aligned}z_1 \pm z_2 &= (x_1\pm x_2){\textcolor{red}+}(y_1\pm y_2)i,\\\\\ z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\ &= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 &&\lvert\; i^2 = -1\\ &= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\cdot i \quad \text{ und}\\\\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2},\end{aligned}$$ wobei $\bar{z}_1=x_1-y_1\cdot i$ ist.

Damit solltest du jetzt die Aufgaben lösen können. Anscheinend reicht es dir aber auch schon die fertigen Lösungen einfach ohne Nachzudenken abzuschreiben.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen:$$z=3-i\quad;\quad w=1+2i$$

a) Beim Multiplizieren behandelst du $i$ wie eine Variable, behälst aber im Hinterkopf, dass $i^2=-1$ gilt:$$z\cdot w=(3-i)(1+2i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$$

b) Hier wird $w$ mit sich selbst multipliiert, wir verwenden die 1-te binomische Formel:$$w^2=(1+2i)^2=1+2\cdot2i+4i^2=1+4i-4=-3+4i$$

c) Man kann eine komplexe Zahl auch als 2-dimensionalen Vektor auffassen, wobei der Realteil die $x$-Koordinate und der Imaginärteil die $y$-Koordinate ist. Dann kann man davon den Betrag bilden:$$|w|=|1+2i|=\left\|\binom{1}{2}_{\mathbb C}\right\|=\sqrt{1^2+(2)^2}=\sqrt{5}$$

d) Hier hilft wieder eine binomische Formel:$$z^3=(3-i)^3=1\cdot3^3-3\cdot3^2i+3\cdot3i^2-1\cdot i^3=27-27i-9+i=18-26i$$

e) Den "Trick" mit dem Vektor kennst du ja jetzt schon:$$|z|=|3-i|=\left\|\binom{3}{-1}_{\mathbb C}\right\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$$

f) Division ist oft fummelig, da hilft in der Regel die dritte binomische Formel:$$\frac{z}{w}=\frac{3-i}{1+2i}=\frac{3-i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{3-i-6i+2i^2}{1-4i^2}$$$$\phantom{\frac{z}{w}}=\frac{3-7i-2}{1+4}=\frac{1-7i}{5}$$

g) Hier können wir auf dem Kehrwert von Teil (f) aufbauen:$$\frac{w}{z}=\frac{5}{1-7i}=\frac{5}{1-7i}\cdot\frac{1+7i}{1+7i}=\frac{5(1+7i)}{(1-7i)(1+7i)}=\frac{5+35i}{1-49i^2}=\frac{5+35i}{1+49}$$$$\phantom{\frac{w}{z}}=\frac{5(1+7i)}{50}=\frac{1+7i}{10}$$

h) Der Strich über einer komplexen Zahl bedeutet "komplex konjugiert", dabei wechselt der Imaginärteil sein Vorzeichen:$$z+\overline w=(3-i)+\overline{(1+2i)}=(3+i)+(1-2i)=4-i$$

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Danke für die Antwort.