Zeigen Sie, dass für alle g∈G eine Zahl n∈N 0 mit gn=e existiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle g∈G eine Zahl n∈N>0 mit gⁿ=e existiert. Leiten Sie daraus ab, dass für alle g∈G eine Zahl m∈N mit g⁻¹=g^m existiert.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich aus der ersten Aufgabe die zweite herleiten? Ich habe etwas zur a aufgeschrieben bzw. was gefunden bin mir jedoch nicht sicher.
Feststellung:
g*g ≠ g, da ansonsten g*g*g-1=g*g-1=e bzw. g=e
Sei g*g=a₁daraus folgt a₁ ≠ g, da sonst g = e
Sei g*g*g = a₂a₁ ≠ a₂, da sonst g = e
daraus folgt i = n-1 bzw. 1 ≤ i ≤ n-1 wenn ein a_i=g dann gⁱ⁺¹=a_i=g daraus folgt gⁱ=e

Mit freundlichen Grüßen,

Milan

Comments

Wofür steht G?

Ok, ich denke, es soll eine Gruppe sein.

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Ups, entschuldigung vergessen zu schreiben. G ist eine endliche Gruppe.

Answer 1

"endlich" ist da natürlich wichtig.

Sei g∈G. und #G = k∈ℕ.  Betrachte  für alle j mit 0<j<k+2 die

Elemente g^j . Die sind wegen der Abgeschlossenheit von G alle

in G. Es sind aber k+1 Stück und da G nur k Elemente hat, sind

also mindestens zwei gleiche darunter, etwa i<j aber gⁱ = g^j .

Mit n = j-i ist t>0 und   gⁱ = gⁱ⁺ⁿ =   gⁱ *gⁿ         #

Da G eine Gruppe ist, besitzt gⁱ ein Inverses,    und wenn man Gleichung

 # auf beiden Seiten von links mit diesem Inversen multipliziert, hat man

(e ist das neutr. El. von G)          e = gⁿ .               q.e.d.

Und    g*g^(-1) = e = gⁿ = g*g^(n-1)

==>     g^(-1) = g^(n-1) .

Comments

Danke für deine Hilfe und Antwort. Ich hätte aber noch eine Frage und zwar was genau ist #G?

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Das ist die Anzahl der Elemente von G. Und weil G endlich

ist ( für unendliche Gruppen sind ja auch die Aussage falsch),

ist das ein Element der nat. Zahlen.