Rauminhalt des entstehenden Drehkörpers berechnen

Question

Das Flächenstück, das vom Graphen der Funkt. f: y= f(x), der x-Achse und den Ordinatenlinien in den Endpunkten des Intervalls [a;b] begrenzt wird, rotiert um die x-Achse.

Wie lautet der Rauminhalt des entstehenden Drehkörpers?

Die gegebene Funktion lautet: y=  2/3 • x + 3

[-3;6]

Problem:

Kann mir jemand bitte helfen und erklären wie dieses Beispiel zu lösen ist? :)

Answer 1

Aloha :)

Du rotierst den Graphen der Funktion$$y(x)=\frac{2}{3}\,x+3$$um die \(x\)-Achse. Wenn wir uns speziell den Punkt \((x_0|y_0)\) der Funktion rausgreifen, dann wird die Linie vom Punkt \((x_0|0)\) bis zum Punkt \((x_0|y_0)\) ein Mal vollständig um die \(x\)-Achse gedreht. Dabei entsteht an dieser Stelle ein Kreis mit Radius \(y_0\), der senkrecht zur \(x\)-Achse liegt und dessen Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt. Die Fläche dieses Kreises ist \((\pi\,y_0^2)\).

Wenn du nun das Volumen des Rotationskörpers berechnen möchtest, muss du die Flächen aller dieser Kreise entlang der \(x\)-Achse summieren. Das führt zu folgender Formel:

$$F=\int\limits_{-3}^6\,\pi\,y^2\,dx=\int\limits_{-3}^6\,\pi\left(\frac{2}{3}x+3\right)^2dx=\int\limits_{-3}^6\,\pi\left(\frac{4}{9}x^2+4x+9\right)dx$$$$\phantom{F}=\pi\left[\frac{4}{27}x^3+2x^2+9x\right]_{-3}^6=171\,\pi$$

Comments

warum ist denn da ein +4x?

ich bin nämlich als ich es selbst probiert habe nur auf 4/9 * x²  + 9 gekommen.

also bei f² (x)

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Die binomische Formel lautet ja:$$(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$$Diese wird auf die runde Klammer angewendet:$$\left(\underbrace{\frac{2}{3}x}_{=a}+\underbrace{3}_{b}\right)^2=\underbrace{\frac{4}{9}x^2}_{=a^2}+\overbrace{2\cdot\underbrace{\frac{2}{3}x}_{=a}\cdot\underbrace{3}_{=b}}^{=4x}+\underbrace{9}_{=b^2}=\frac{4}{9}x^2+4x+9$$

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Alles klar vielen vielen Dank !! :))

Answer 2

Für die Volumenberechnung eines Rotationskörpers mittels Integralrechnung gibt es eine Formel. Mit Anwendung eines Taschenrechners ist das stures Einsetzen. Wer dafür vorher die Stammfunktion berechnen muss hat es nicht ganz so einfach, aber es ist machbar.

Wenn es NICHT um intgralrechnung geht: Skizziere die Situation, erkenne, dass der Rotationskörper ein Kegelstumpf ist. Mit f(6) und f(-3) bestimmst du die Grundkreisradien, die Höhe ist die Differenz zwischen 6 und -3.

Answer 3

π*∫ von -3 bis 6 über (2/3 x + 3) ^2 dx = 171*π