LGS lösen mit Bedingung

Question

Weiß jemand wie ich auf die Werte komme die gesucht sind?

Für welche Werte von \( a \in \mathbb{R} \) ist der Vektor \( \left(-2, a, 2, \frac{1}{2}\right)^{T} \) eine Lösung des linearen Gleichungssystems?

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
$$ \begin{array}{rrrrrrr} x_{1} & + & 3 x_{2} & - & x_{3} & & =    & 2 \\ 2 x_{1} & + & 5 x_{2} & & & + & 2 x_{4} & = & 7 \\ x_{1} & + & 2 x_{2} & + & x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 6 \\ 3 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & & & = & 6 \end{array} $$

Answer 1

Setzte den gegebenen Lösungsvektor in das Gleichungssystem ein und löse nach \( a \) auf. Dann bekommst Du 4 Gleichungen, die müssen alle mit dem gleichen \( a \) gelöst werden können. Das ist die Lösung.

Comments

Ist der Lösungsvektor dann jeweils ein Element von x4?? Ich verstehe nicht ganz was du meinst.

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Der Lösungsvektor ist doch gegeben zu \( \begin{pmatrix} -2 \\ a \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \)

Das Gleichungssystem sieht dann so aus

$$  \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 9 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ a \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} $$

Das ergibt 4 Gleichungen für \( a \) die alle für den gleichen Wert von \( a \) erfüllt sein müssen.