Aloha :)
Hier hilft uns die Kettenregel weiter. Wir beginnen mit der Ableitung der Wurzelfunktion. Wegen \([\sqrt x]'=\frac{1}{2\sqrt x}\) haben wir im ersten Schritt:
$$r'=\left[\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}\right]'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left[2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)\right]'}_{=\text{innere A.}}$$Auf die verbliebene Ableitung wenden wir die Summenregel an$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+\left[\cos^2(2\phi+\pi/4)\right]'\right)$$und wenden mit \([x^2]'=2x\) die Kettenregel ein zweites Mal an:
$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+\underbrace{2\cos(2\phi+\pi/4)}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left[\cos(2\phi+\pi/4)\right]'}_{=\text{innere A.}}\right)$$
und mit \([\cos x]'=-\sin x\) auch noch ein drittes Mal:
$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+2\cos(2\phi+\pi/4)\cdot\underbrace{\left(-\sin(2\phi+\pi/4)\right)}_{=\text{äußere A.}}\,\underbrace{\left[2\phi+\pi/4\right]'}_{=\text{innere A.}}\right)$$
Die letzte Ableitung erhalten wir mit der Faktorregel, sodass$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+2\cos(2\phi+\pi/4)\cdot\left(-\sin(2\phi+\pi/4)\right)\cdot2\right)$$Das kann man noch zusammenfassen:$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2-4\cos(2\phi+\pi/4)\sin(2\phi+\pi/4)\right)$$
Mit ein wenig Trigonometrie-Gymnastik:
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1}{2}\left(\cos^2x-\sin^2x\right)$$
vereinfachen wir weiter
$$r'=\frac{1}{\cancel2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(\cancel2-\cancel2(\cos^2(2\phi)-\sin^2(2\phi)\right)$$
$$r'=\frac{1}{\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(1-\cos^2(2\phi)+\sin^2(2\phi)\right)$$
und erhalten mit \(\sin^2x+\cos^2x=1\) bzw. \(1-\cos^2x=\sin^2x\) das Ergebnis
$$r'=\frac{2\sin^2(2\phi)}{\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}$$
