Aufgabe:
limx→∞(x2+ax)−(x2+bx)\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+ax})-(\sqrt{x^2+bx})x→∞lim(x2+ax)−(x2+bx)
Problem/Ansatz:
Habe versucht mit der Regel a2-b2 die Wurzeln in den Nenner zu bekommen.
Aber komme auf kein Ergebnis.
!
Grenzwert zu was?
Erweitere zur 3. binom. Formel, klammere im Zähler und Nenner x aus und
kürze mit x!
Lösung: (a-b)/2
Versuche immer zuerst die Wuzel im Nenner zu beseitigen.
LG
raven
x2+ax−x2+bx=(x2+ax−x2+bx)∗(x2+ax+x2+bx)x2+ax+x2+bx=x2+ax−x2−bxx2+ax+x2+bx=x(a−b)x∗1+ax+x∗1+bx=a−b1+ax+1+bx=>limx→∞a−b1+ax+1+bx=a−b2\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx} = \frac{(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}) *(\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx})}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}} = \\ \frac{x^2+ax-x^2-bx}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}} =\frac{x(a-b)}{x*\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x* \sqrt{1+\frac{b}{x}}} =\frac{a-b}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}} =>\\ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{a-b}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}} = \frac{a -b}{2}x2+ax−x2+bx=x2+ax+x2+bx(x2+ax−x2+bx)∗(x2+ax+x2+bx)=x2+ax+x2+bxx2+ax−x2−bx=x∗1+xa+x∗1+xbx(a−b)=1+xa+1+xba−b=>x→∞lim1+xa+1+xba−b=2a−b
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