Wahrscheinlichkeitsfunktion aus einer Verteilungsfunktion

Question

Hallo,

ich habe folgendes Problem: Ich soll zu einer einer Zufallsvariable mit gemischter Verteilung und gegebener Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsfunktion und Dichte bestimmen.

Ich komme leider schon nicht weiter bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kann mir hier jemand helfen? ich weiß leider gar nicht was ich manchen soll.

Angabe:

$$F_{X} = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x \lt 0 \\ \frac{x^{2}}{4} & 0 \le x \lt 1 \\ \frac{x}{2} & 1 \le x \lt 2 \\ 1 & x \ge 2 \\ \end{array} \right.$$

Answer 1

Bestimme die Sprungstellen der Verteilungsfunktion. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Funktion, die jeder Sprungstelle, die "Höhe" des Sprungs zuordnet und sonst Null ist. Die Dichtefunktion erhälts du durch differenzieren der Verteilungsfunktion - an den Sprungstellen, ist die Dichte undefiniert.

Comments

heißt das, dass meine Wahrscheinlichkeitsfunktion nur 0,25 bei x = 1 ist? weil da ist die einzige Sprungstelle.

Durch differenzieren habe ich dann die Funktion $$\frac{x}{2} \text{ für } 0 \le x \lt 1$$ und $$ 1/2 \text{ für } 1 \lt x \lt 2 $$

Aber die Fläche unter der Dichtefunktion muss doch laut Definition 1 sein und wenn ich hier das Integral von \(-\infty\) bis \(\infty\) bilde dann bekomme ich nur \( \frac{3}{4}\)

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Oh nein so kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht aussehen weil auch hier müssten die Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1 sein.

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Doch, genau so sehen die beiden Funktionen aus. Das beide für sich alleine nicht in der Summe die eins ergeben ist korrekt: Da die Verteilung weder stetig noch diskret ist sondern beides (=gemischt), lässt sie sich weder durch eine Dichte noch durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben, sondern nur durch die Kombination aus beidem: \(\frac34+\frac14=1\).

Das musst du dir so vorstellen, als wenn die Dichtefunktion an der Stelle x=1 ein unendlich schmalen und unendlich Hohen Ausschlag mit dem Flächeninhalt \(\frac14\) hat.

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Ah ich verstehe :)