Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes von t und n.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/2x^4 -x³-2 mit Schaubild K. t ist die Tangente an K in x = 2, n ist die Normale von K in P (-1 | f (-1) ). Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes von t und n.

Answer 1

Hallo,

berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte.

Tangente:

Bestimme die Steigung der Tangente mit Hilfe der 1. Ableitung an dem Punkt. Setze diesen Wert für m in die allgemeine Gleichung einer Geraden ein

y = mx + b

Ermittle b, indem du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einsetzt und nach b auflöst.

Normale:

Ermittle die Steigung m₁ der Tangente an dem Punkt. Die Steigung der Normalen \( m_2=-\frac{1}{m_1} \)

Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse wie oben.

Du kannst dich gerne wieder melden, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Ich habe Tangente bestimmt, nur habe ich die Normale falsch. Kp, was ich falsch mache. Kannst du mir vielleicht einen Rechenweg zeigen? Also den Lösungsweg?

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Wie lautet denn die Gleichung der Tangente?

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t: y=4x-10 

Also dies ist die Gleichung der Tangente.

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Das ist richtig.

Dann schaffst du auch die Gleichung der Normalen.

Die Steigung ist der negative Kehrwert von 4

Dann b wie bei der Tangente berechnen.

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Der negative Kehrwert von 4 ist 1/4

Und wie berechne ich b?

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Der negative Kehrwert ist - 1/4

Du setzt jetzt die Koordinaten des Punktes (-1(f(-1) in die Gleichung ein und löst nach b auf:

\(-0,5=-\frac{1}{4}\cdot(-1)+b\)

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Also ist b= -0,75 oder was?

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Ja, das ist richtig.

Jetzt nur noch t = n setzen, nach x auflösen und das Ergebnis in eine der Gleichungen einsetzen, dann hast du den Schnittpunkt.

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Ist n dann y= -0,25x-0,75?

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Ja, das ist richtig.

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Ist dann der SP (37/17 | -1,09)? Also das Ergebnis?

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Bei der y-Koordinate hast du dich verrechnet:

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Ach so. Ok. SP (2,18/-1,29). Geht klar.

Das Problem ist nur, meine Lehrerin hat als Ergebnis SP ( 2,55/0,2) raus, weil sie

n: y= 0,2x-0,3 hat. Bin ein wenig verwirrt.

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Mein Fehler, ich habe die Normale bei x = 2 berechnet.

\(f(x)=0,5x^4-x^3-2\\f'(x)=2x^3-3x^2\\f(-1)=-0,5\\f'(-1)=-5\\\text{Tangentengleichung:}\\ -0,5=-5\cdot(-1)+b\Rightarrow -5,5=b\\t(x)=-5x-5,5\\\text{Steigung der Normalen }=\frac{1}{5}\\ -0,5=\frac{1}{5}\cdot(-1)+b\\ -\frac{3}{10}=b\\ g(x)=\frac{1}{5}x-\frac{3}{10}=0,2x-0,3\\\text{Schnittpunkt}\\ 4x-10=0,2x-0,3\\3,8x=9,7\\x=2,55\\f(2,55)=0,21\)

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Warum hast du als Tangentengleichung: -5x - 5,5 ? Kann das nicht ganz nachvollziehen.

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\(f(x)=0,5x^4-x^3-2\\f'(x)=2x^3-3x^2\\f(-1)=-0,5\\f'(-1)=-5=m\\ -0,5=-5\cdot(-1)+b\\ -0,5-5=b\\-5,5=b\\t(x)=-5x-5,5\)