Größe des Schnittwinkels berechnen mit Parameter t

Question

Aufgabe:

10. Gegeben sind die Punkte \( P(5|4|-6), Q(3|8| 1) \) sowie für alle \( t \in \mathbb{R} \) der Punkt \( R_{t}(2 t+5|2-t| t-3) \)
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der alle Punkte \( \mathrm{R}_{\mathrm{t}} \) liegen. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von \( \mathrm{g} \) mit der \( \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} \) - Ebene und die Größe des Schnittwinkels.
b) Ermitteln Sie denjenigen Wert von t, für den der Punkt \( R_{t} \) einen minimalen Abstand vom Punkt Q hat.
c) Die Punkte \( P \), \( Q \) und \( R_{t} \) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Untersuchen Sie, für welche Werte von \( t \) das Dreieck \( \mathrm{PQR}_{\mathrm{t}} \) rechtwinklig ist.
d) Berechnen Sie im Fall, dass der rechte Winkel bei P liegt, die Längen der Dreiecksseiten und die Größen der Innenwinkel.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich bereits den Schnittpunkt mit der x1x3 Ebene berechnet indem ich die zweite Reihe der Gleichung gleich 0 gesetzt habe. Dort habe ich S(7-t|0,5t|-4-1,5t) rausbekommen. Ich bin mir leider unsicher bei dem Ergebnis und wüsste auch nicht wie ich damit den Schnittwinkel berechnen soll.

Bei den nachfolgenden Aufgaben bin ich aufgrund des Parameters auch sehr verwirrt.

Answer 1

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2t+5\\2-t \\3-t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\2 \\3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\-1 \end{pmatrix}$$

Schnitt mit der xz-Ebene für y=0 , also 0 = 2-t ==>  t=2

Einsetzen gibt den Schnittpunkt (9 | 0 | 1 ) .

Für den Winkel bestimme zunächst den Winkel zwischen einem Normalenvektor der

Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden , also zwischen

\( \begin{pmatrix} 2\\-1 \\-1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \end{pmatrix} \)

deren Längen sind  √6   und  1. Skalarprodukt ist -1  und also

-1 =  √6  * 1  *  cos(α)   ==>   cos(α)  =  -1/ √6  ==>  α=114°

Du brauchst aber den spitzen Winkel, der ist also 66° und der

Winkel zwischen Gerade und Ebene ist dann 90°-66° = 24°.

Comments

Wie kommst du auf die Geradengleichung? Kann ich gerade irgendwie nicht nachvollziehen.

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Zuerst habe ich doch nur die Koordinaten von R_t abgeschrieben

und dann das in einen Teil mit t und einen ohne t aufgeteilt .

Der vordere Teil ist dann ein Punkt der Geraden und der hintere

ein Richtungsvektor.

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In der letzten Reihe ist es doch t-3 und nicht 3-t. Also auch -3 und 1 statt 3 und -1?

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Ah ja, das habe ich falsch abgeschrieben.

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Hab a jetzt raus. Vielen Dank. Kannst du mir bei den anderen auch noch helfen?

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b) Verbinde Q mit R_t und schau wann das senkrecht zur Richtung von g ist.

Korrigiert ist g ja:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2t+5\\2-t \\t-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\2 \\-3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}$$

also die Verbindung

$$\begin{pmatrix} 5\\2 \\-3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\8 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-6 \\-4 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}$$

Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor ist also

(2+2t)*2 + (-6-t)*(-1)+ (-4+t)*1 = 0  <=>  t=-1

c)  rechter Winkel bei Rt :

Verbindung R_tQ und R_tP  (ähnlich wie b) müssen Skalarprodukt 0 haben.

analog bei Q:
Verbindung QRt und QP müssen Skalarprodukt 0 haben.

und bei P entsprechend:

Verbindung PRt und PQ müssen Skalarprodukt 0 haben.

hier bekomme ich dann $$\begin{pmatrix} 5\\2 \\-3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5\\4 \\-6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\-2 \\3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}$$  und für PQ
$$\begin{pmatrix} 3\\8 \\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\4 \\-6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2\\4 \\7 \end{pmatrix} $$

Skalarprodukt ist 0, wenn

2t*(-2) + (-2-t)*4 + (3+t)*7 = 0 <=>  t=13