Berechnen Sie den Einheitsvektor n senkrecht auf dem Dreieck ABC. A(1;0;0), B(0;2;0) und C(0;0;3)

Question

Berechnen Sie den Einheitsvektor n, der senkrecht auf dem Dreieck steht, welches von den Punkten A=(1;0;0), B=(0;2;0) und C(0;0;3) bestimmt wird.

 

Ich habe dazu eine Skizze angefertigt:

 

 

Ist das so richtig? Ist der grüne Strich der Vektor n?

Und wie gehe ich nun vor, um diesen auszurechnen? Die Lösung habe ich, aber ich möchte einen Lösungsweg haben.

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Nachtrag:


Ich weiss, dass ich um einen Einheitsvektor zu erhalten, den Vektor durch den Betrag/Länge teilen muss. Also z.B  a/ |a| = n

Der Betrag von einem Vektor ist die Quadratwurzel aus (x² + y² + z² )

Answer 1

Als Skizze ist das schön und gar nicht schlecht.

Um n zu berechnen

macht man am schnellsten mal eine Koordinatengleichung der Ebene E in der die Punkte A(1;0;0), B(0;2;0) und C(0;0;3) liegen.

Allgemein muss gelten

E:  ax + by + cz = d

Wegen A

gilt a = d

Wegen B

2b=d

Wegen C

3c=d

Gut ist daher, wenn d durch 6 teilbar ist.

Wähle also d=6

Dann ist a=6, b=3, c=2.

E: 6x + 3b + 2c = 6

Hier kannst du einen Normalenvektor ablesen:

n = (6 , 3, 2)

Die Länge von n ist nun aber |n| =√(36 + 9+4) = √49 = 7

Ein Einheitsvektor senkrecht auf E 

ist daher e_n = 1/7 (6, 3, 2) = (6/7, 3/7, 2/7)

Beachte: Alles, was fett ist, sind Vektoren. D.h. mit Pfeil darüber resp. vertikal notieren.

n ist ein beliebiger Vektor der senkrecht auf E steht. e_n ist erst ein Einheitsvektor.

Es gibt noch eine 2. Lösung:

 

e_n = -1/7 (6, 3, 2) = (-6/7, -3/7, -2/7)

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Also kann ich die Skizze so in meine Unterlagen übernehmen? d.h ist die Skizze korrekt mit dem Koordinatensystem?

Danke für die schnelle Lösung :) Deine Lösung stimmt mit der Lösung die ich habe überein, super!


Nachtrag:

Leider hatten wir noch keine Koordinatengleichungen.

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Eine Skizze kann so aussehen:

Eine massstäblich bessere Darstellung wäre

Achtung: Sollte ein Quader sein!

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Vektorprodukt kennst du aber schon?

Ansonsten bleibt nur das Skalarprodukt.

Das muss 0 sein, wenn n senkrecht auf einem Vektor steht.

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Ja das Kreuzprodukt kenn ich und kann ich bereits anwenden.  Danke für die erklärenden Skizzen.

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 A(1;0;0), B(0;2;0) und C(0;0;3)

Dann berechne ein n

als n = AB x AC = (-1,2,0) x (-1,0,3)

nachher durch |n| dividieren. Vgl. Antwort von Gorgar.

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Okay danke. AB steht für A - B , richtig?

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Nein. Das ist der Verbinungvektor, der von A nach B zeigt.

Korrekter

AB = 0B - 0A

Ortsvektoren 0A und 0B der beiden Endpunkte des Vektors AB werden ('umgekehrt') voneinander subtrahiert.

Answer 2

hi

eine mögliche lösung:

a = B - A = (-1;2;0)
c = C - A = (-1;0;3)
n = a x c = (6;3;2)  <-- hier wurde das kreuzprodukt berechnet
|n|  = 7
n₀ = (6/7;3/7;2/7)

Comments

Stimmt die Skizze mit deiner Lösung überein?

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Ja, stimmt so.

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Die Skizze werd ich so übernehmen

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Gerne! Beachte vielleicht noch dabei, dass der Vektor n in deiner Skizze verschoben ist, das kann man ja prizipiell so machen, es war ja nicht nach einem zugehörigen Ortsvektor gefragt.