Lösen Sie die Gleichung x² = y³ bestimmen alle Quadratzahlen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung x² = y³ mit x,y ∈ Z; bestimmen Sie also alle Quadratzahlen, die
gleichzeitig Kubikzahlen sind.

Hinweis: Primfaktorzerlegung; zeigen Sie {(x,y) ∈ Z × Z | x² = y³} = {(z³,z²) ∈ Z × Z | z ∈ Z}.

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Comments

z=x*x=y*y*y

Das geht mit x=n*n*n und y=n*n.

z=n*n*n*n*n*n=n^6

n	1	2	3	4
z	1	64	729	4096

Answer 1

Hallo Elena,

Sei \(|x| = \prod p_i^{n_i}\) also das Produkt aller Primteiler inklusive der Häufigkeit derselben und in der gleichen Weise \(y = \prod q_i^{m_i}\), dann soll gelten$$\begin{aligned} x^2 &= y^3 \\  \prod p_i^{2n_i} &=  \prod q_i^{3m_i} \\&\implies p_i = q_i \space \land \space 2n_i = 3m_i \forall i \end{aligned}$$Da die \(n_i\) und \(m_i\) nur ganze positive Zahlen sein können, muss jedes \(n_i\) die 3 als Teiler enthalten.

Folglich ist \(x\) selbst eine Kubikzahl. Die Lösungsmenge \(\mathbb L\) für \(x\) ist somit$$ \mathbb L = \{ x \mid \, x = a^3, \space a \in \mathbb Z \}$$

Comments

Danke erstmal für deine Antwort :)

Soll ich noch was schreiben oder reicht das als Lösung für meine Aufgabe?

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Soll ich noch was schreiben oder reicht das als Lösung für meine Aufgabe?

kommt ein wenig darauf an, was der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung ist. ist er

Lösen Sie die Gleichung x² = y³ mit x,y ∈ Z

Dann muss es genauer heißen$$\mathbb L = \{ x,y\mid \, x=a^3, \, y=a^2,\space a \in \mathbb Z \}$$heißt es

bestimmen Sie also alle Quadratzahlen, die gleichzeitig Kubikzahlen sind.

so sollte es vielleicht besser heißen $$\mathbb L = \{ x^2\mid x = a^3, \space a \in \mathbb Z \}$$das folgt beides unmittelbar aus der Lösung, die ich in meiner Antwort angegeben habe.

Die Herleitung davor sollte so reichen. Ist natürlich immer vom Dozenten abhängig ... und davon wie sonst in Deinem Umfeld die Argumentationsketten aussehen.

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 ^_^

Answer 2

Quadratzahlen, welche gleichzeitig Kubikzahlen sind, müssen sechste Potenzen von ganzen Zahlen sein. Was sonst?