hat das LGS für jede Wahl von b1,b2 (reelle Zahlen) eine Lösung?

Question

Aufgabe: Gegeben sind b1, b2 ∈ R und das lineare Gleichungssystem für x1, x2 ∈ R

2x1 + x2 = b1  , 0,5x1 − x2 = b2

das LGS ist äquivalent zu Ax = b mit den Vektoren x=

x1

x2

b)=

b1

b2

und einer geeignet gewählten 2x2 Matrix A. Die Abbildung x auf Ax ist die Multiplikation von A mit dem Vektor x.

a) hat das LGS für jede Wahl von b1,b2 (reelle Zahlen) eine Lösung?

b) für welche Matrix A sind die Gleichungssysteme äquivalent?

c) Untersuchen Sie die Surjektivität der Abbildung R^2 auf R^2, x auf Ax ,mit der Matrix A aus (b), wobei R^2 die Menge aller reellwertigen Vektoren mit zwei Komponenten benennt.

.

Problem/Ansatz: Komme auch hier nicht weiter.

Answer 1

Hallo

einfach das GS lösen, dann siehst du, ob es für alle b1,b2 eine Lösung hat.

A aus den 4 Koeffizienten hinzuschreiben kannst du wohl.

Wenn du a) mit für alle b beantwortet hast ist die Abbildung subjektiv (überlege warum)

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

a) Wir prüfen, ob das LGS eine Lösung für jede Wahl von \(b_1,b_2\) hat.$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\[0.5ex]\hline2 & 1 & b_1 & +\text{Zeile 2}\\[0.5ex]\frac{1}{2}& -1 & b_2 & \\[0.5ex]\hline\frac{5}{2} & 0 & b_1+b_2 & \cdot\,\frac{2}{5}\\[0.5ex]\frac{1}{2} & -1 & b_2\\[0.5ex]\hline1 & 0 & \frac{2}{5}(b_1+b_2) & \\[0.5ex]\frac{1}{2} & -1 & b_2 & -\frac{1}{2}\cdot\text{Zeile 1}\\[0.5ex]\hline1 & 0 & \frac{2}{5}(b_1+b_2) & \\[0.5ex]0 & -1 & b_2-\frac{1}{5}(b_1+b_2) & \cdot(-1)\\[0.5ex]\hline1 & 0 & \frac{2}{5}(b_1+b_2) & \\[0.5ex]0 & 1 & \frac{1}{5}(b_1+b_2)-b_2 &\\[0.5ex]\hline\end{array}$$Wir haben also folgende Lösung gefunden:$$x_1=\frac{2(b_1+b_2)}{5}\quad;\quad x_2=\frac{b_1-4b_2}{5}$$Das LGS hat also für jede Wahl von \(b_1,b_2\) eine eindeutige Lösung.

b) Wir bestimmen die passende Matrix:$$\begin{array}{r}2x_1+x_2=b_1\\\frac{1}{2}x_1-x_2=b_2\end{array}\;\Leftrightarrow\;\binom{2}{\frac{1}{2}}x_1+\binom{1}{-1}x_2=\binom{b_1}{b_2}\;\Leftrightarrow\;\underbrace{\begin{pmatrix}2 & 1\\\frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}}_{=A}\binom{x_1}{x_2}=\binom{b_1}{b_2}$$

c) Surjektivität bedeutet, dass jedes Element \((b_1;b_2)\) der Zielmenge \(\mathbb R^2\) mindestens 1-mal erreicht wird. In Teil a) haben wir gezeigt, dass wir für jede beliebige Wahl \((b_1;b_2)\) ein \((x_1;x_2)\) aus der Definitionsmenge finden können, das auf dieses \((b_1;b_2)\) abbildet. Jedes Element der Zielmenge kann also mindestens 1-mal erreicht werden. Die Abbidlung ist surjektiv.