Zeigen Sie, dass R ein Ring mit Eins ist.

Question

Für ω = e^{\( \frac{2πi}{3} \)} zeige man ω² + ω +1 = 0 und ω = \( \frac{1}{2} \)(-1+i\( \sqrt{3} \)).

Es sei R:= ℤ[ω] = {a+bω|a,b∈ℤ}. Zeigen Sie, dass R ein Ring mit Eins ist.

Comments

Die Schritte, die Oswald 2015 beschrieben hat, kannst du allenfalls auch auf diese Aufgabe anwenden. https://www.mathelounge.de/288165/zeige-ein-kommutativer-ring-mit-eins-aber-kein-korper

Answer 1

\(e^\frac{2πi}{3} = cos(\frac{2π}{3})+i*sin(\frac{2π}{3})=-\frac{1}{2}+i*\frac{√3}{2}\) = \( \frac{1}{2} \)(-1+i\( \sqrt{3} \)).

ω^2 + ω +1  = \( 0,25(-1+i \sqrt{3}    )^2  +0,5(-1+i \sqrt{3}    ) +1  \)

= \( 0,25(1+2i \sqrt{3} -3   )  +0,5(-1+i \sqrt{3}    ) +1  \)

= \( -0,5+0,5i \sqrt{3}           -0,5+0,5i \sqrt{3}     +1   = -1 +1 = 0 \)

Für den Ring ist vermutlich das einzige Problem die

Abgeschlossenheit gegenüber *.

(a+bω)*(c+dω) = ac + (b+c)ω + bdω^2

Ersetze nun ( s.o.) ω^2 durch  -ω -1 und es ist erkennbar wieder aus R.

Die 1 ist kein Problem, wird für a=1 und b=0 erreicht.

Comments

Schon einmal vielen Dank für deine super Antwort!

Ich steh aber gerade ziemlich auf dem Schlauch, wenn ich das ganze richtig deute, muss ich für den Ring noch die Ringaxiome beweisen: Also das R abelsche Gruppe ist, Assoziativität und Distributivgesetze, R ist Menge mit Verknüpfung.

Jetzt ne ganz dumme Frage: Was zeige ich mit der Abgeschlossenheit?

Müsste es nicht außerdem (a+bω)*(c+dω) = ac+adw+bcw+bdw² mit w²=-w-1 wäre dann also: (ac-bd)+(ad+bc-bd)w ? Wäre damit die Abgeschlossenheit gezeigt?

Jetzt noch zu Ring mit EIns:

Geht auch:

Sei e*(a+bw) = a+bw und wir schreiben e = x+yw

Dann ist (x+yw)(a+bw)=(ax-by)+(bx+ay)w = a + bw

So ist: ax-by = a (1)

und   bx+ay = b (2)

mit y= 0 ist ax-b*0=a; ax=a; x=1

Dann ist e=1+w0=1.

Dementsprechend heißt R ein Ring mit Eins?

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Müsste es nicht außerdem

(a+bω)*(c+dω) = ac+adw+bcw+bdw^2 mit w^2=-w-1

wäre dann also: (ac-bd)+(ad+bc-bd)w ? Wäre damit die Abgeschlossenheit gezeigt?,

Ja, weil man ja sagen kann: ...und

ac-bd ∈ℤ    und  ad+bc-bd ∈ℤ   also

(ac-bd)+(ad+bc-bd)w  ∈ R.

"Zu Ring mit 1"  musst du gar nicht sagen, wie du darauf gekommen bist, sondern behauptest einfach:

Der Ring hat das 1-Element e = 1+0*w; denn

(1+0*w)*(a+b*w) = 1*a +0*w*a + 1*b*w + 0*w*b*w

                          = a + b*w.

und entsprechend auch (a+b*w)*(1+0*w)=(a+b*w)

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Und die Axiome:Assoziativität, Distributivität usw muss ich auch noch zeigen und für w² dann immer -w-1 einsetzen?

^^

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Ja genau so ist es.