Definition Tangens am Einheitskreis

Question

Liebe Lounge,

eine Frage zur Definition des Tangens am Einheitskreis.

Zunächst einmal, als Voraussetzung darf die Definition des Sinus und des Cosinus am Einheitskreis benutzt werden.

Dabei ist der Sinus des Winkels gerade die y-Koordinate von P und der Kosinus des Winkels gerade die x-Koordinate von P.

Jetzt wäre eine Möglichkeit, die ich nachvollziehen kann: Der Tangens für Winkel von 0-90° ist ja definiert als GK/AK. Wenn man das jetzt auf eine allgemeinere Ebene anheben will, also für Winkel größer 90°, wäre es logisch zu sagen: tan(phi)=sin(phi)/cos(phi).

Jetzt wird in den meisten Büchern allerdings das Dreieck des Einheitskreises so verändert, dass die Ankathete die Länge eins hat. Demnach gilt dann tan(phi)=GK/AK=GK/1=GK.

Das finde ich eigentlich noch intuitiver. Jetzt kommt allerdings die Stelle, an der es bei mir hakt:

Wieso ist, bei dieser letzten Betrachtungsweise, der tan(phi) mit 90°<phi<180° negativ? Das will sich mir auch mit graphischer Illustration nicht so ganz erschließen.

Deshalb zwei Fragen an euch:

1. Ist meine Herleitung/ Definition auch fein?

2. Kann mir jemand meine Frage zur geometrischen Deutung beantworten :)?

Vielen Dank, einen schönen Tag.

Euer Kombi!

Answer 1

Das will sich mir auch mit graphischer Illustration nicht so ganz erschließen.

Vielleicht jetzt?

Text erkannt:

8

Comments

Nein, ehrlich gesagt nicht...Könntest du die Grafik erklären?

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Es ist klar, dass es unverständlich ist, denn ich hatte die sin- und cos-Beschriftungen vertauscht. Jetzt ist die Abbildung korrigiert, und zusätzlich die Strecke mit der Länge 1 orange markiert.

Jetzt wird in den meisten Büchern allerdings das Dreieck des Einheitskreises so verändert, dass die Ankathete die Länge eins hat. Demnach gilt dann tan(phi)=GK/AK=GK/1=GK.

GK/AK=GK/1 bedeutet bei mir:

blau : rot verhält sich wie violett : orange,

also sin x : cos x = violett : 1

Damit steht die violette Strecke für tan x, in der ersten Abbildung zeigt sie nach oben (Tangens positiv), in der zweiten Abbildung zeigt sie nach unten (Tangens negativ).

Schließlich ist der Tangens im zweiten Quadranten der Quotient aus einem positiven Sinuswert und einem negativen Kosinuswert.

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Genau das ist die Schnittstelle, um die es mir geht:

Schließlich ist der Tangens im zweiten Quadranten der Quotient aus einem positiven Sinuswert und einem negativen Kosinuswert.

Also folgt die Aussage:

in der zweiten Abbildung zeigt sie nach unten (Tangens negativ).

Aus dem negativen Quotienten.

Demnach ist es doch schwierig, den negativen Wert geometrisch zu erklären. Also für den ersten Quadranten passt es geometrisch.

Im zweiten Quadranten muss man den Wert eben mit einem - versehen, da der Cosinus in diesem Fall negativ wird.