Zeige, dass P(T < t) =(1−e^(-2at))²

Question

Aufgabe:

Ein System bestehe aus vier gleichartigen, voneinander unabhängigen Komponenten A,B,C und D. Es funktioniert, wenn die beiden Komponenten A und B oder die beiden Komponenten C und D funktionieren.

Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline\( A \) & \( B \) \\
\hline\( C \) & \( D \) \\
\hline
\end{tabular}

Die Funktionsdauer des gesamten Systems werde mit T bezeichnet. Die Funktionsdauer der einzelnen Komponenten werde mit T_k bezeichnet, k ∈ {A,B,C,D}. T_k sei jeweils exponentialverteilt zum Parameter α. Zeige, dass
P(T < t) =(1−e^-2at)²

Answer 1

Du hast hier eine kombinierte Reihen- und Parallelschaltung vorliegen.

Alle Komponenten sind exponentialverteilt, also gilt für Ausfallwahrscheinlichkeit jeder Komponente $$ P_i( T < t ) = F_i(t) = 1 - e^{-\alpha t} $$ und damit für die Überlebenswahrscheinlichkeit einer Komponente $$ R_i(t) = 1 - F_i(t) = e^{-\alpha t} $$

Bei einer Reihenschaltung gilt für die Gesamtüberlebenswahrscheinlichkeit $$ R_R(t) = R_1(t) R_2(t) = e^{-2 \alpha t }$$

Damit ergibt sich für die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit der Reihenschaltung $$ P_R(T<t) = F_R(t) = 1 -R_R(t) = 1 - e^{-2 \alpha t } $$

Bei der Parallelschaltung berechnet sich die Gesamzausfallwahrscheinlichkeit als Produkt der einzelnen Ausfallwahrscheinlichkeiten. Da die parallel geschalteten Komponenten alle identisch sind, ergibt sich sofort $$ P_P(T<t) = F_P(t) = F^2_R(T) = (1 - e^{-2 \alpha t })^2$$

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