Bestimmen Sie alle a ∈ ℂ, für welche die Vektoren (a 0 i), (0 a 1), (1 1 1) ∈ ℂ3 linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle a ∈ ℂ, für welche die Vektoren (a 0 i), (0 a 1), (1 1 1) ∈ ℂ³ linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die Linear Kombination zu bilden mit λ und zu gucken ob die Linear Kombi nur dann 0 ergibt wenn alle λ=0 sind. Jedoch fehlt mir hier der Ansatz. Eine Fallunterscheidung wäre vielleicht möglich, denke ich.

Answer 1

Ich denke, das Ganze ist als C_vektorraum

gedacht. Wenn es ein R-Vektorraum sein soll, dann sieht

die Sache anders aus.

Das Gleichungssystem hätte dann die
Systemmatrix

a   0      i
 0    a    1
 1    1     1

Erst mal für a≠0:

a   0      i
0    a   1
1    1    1   |*a minus 1. Zeile

a   0      i
0    a    1
0    a   a-i   | minus 2. Zeile

a   0      i
0    a   1
0    0   a-i-1   

Damit für die 3. Variable nur
die Lösung 0 möglich ist, muss
a-i-1 ≠ 0 gelten, also  a ≠  1+i.

Für den Fall a=0 ist der 2. Vektor

Vielfaches des ersten, also sind sie

lin. abhängig. Somit gilt:

Die 3 sind lin. unabhängig, wenn

a ≠  1+i und   a ≠ 0.

Comments

Müssten Zeilen und Spalten nicht vertauscht werden, also das Lgs wie folgt aussehen:

a   0   1

o   a   1

i   1   1

---

Für die lin. Unabhängigkeit ist das egal.

Answer 2

Du kannst das auch mit der Determinanten einer Matrix machen, die die Vektoren in den Spalten (oder Zeilen) hat.

Die Determinante von

a	0	1
0	a	1
i	1	1

ist a² - (1+i)*a

Wenn die Determinante Null ist, sind die Spaltenvektoren linear abhängig. Berechne also

a² - (1+i)*a = 0

a(a-(1+i)) = 0

Für a=0 oder a= 1+i sind die Vektoren linear abhängig, linear unabhängig sonst :) Es gilt nämlich auch, dass wenn die Determinante ungleich Null ist, alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind.