Integral lösen - Schritt-für-Schritt

Question

Wie würde ich das lösen? Gibt es dafür eine einfache Methode?

Integral von \( \frac{2t + 4}{t^2 + 4t + 5} \) dt

Answer 1

Deine Aufgabe sieht kryptisch aus.

Vermutlich ist eine Stammfunktion gesucht.

Bei dem Bruch fällt auf, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

:-)

Answer 2

Aloha :)

Das ist ein "Sofort-Hinschreib-Integral", weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht:

$$\int\frac{2t+4}{t^2+4t+5}\,dt=\ln|t^2+4t+5|+\text{const.}$$

Zum Hintergrund betrachte die folgende Ableitung mit der Kettenregel:$$\left(\ln f(x)\right)'=\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{f'(x)}_{=\text{innere}}=\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Comments

Vielen lieben Dank Dir! :) Ist somit ln((t2 + 4·t + 5) + C die Lösung? Kann man das weiter vereinfachen? Wie bist Du direkt auf die Lösung gekommen?

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Die Ableitung des Nenners ist: $$\left(\,t^2+4t+5\,\right)'=2t+4$$Genau diese Ableitung steht im Zähler. Immer, wenn du einen Bruch integrieren sollst, bei dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht, kannst du die folgende Regel anwenden:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|\,f(x)\,|+\text{const}$$Am Ergebnis kann man nicht mehr viel vereinfachen, zumindest nicht sinnvoll. Du könntest die Betragszeichen noch weglassen, denn:$$t^2+4t+5=(t^2+4t+4)+1=(t+2)^2+1\ge1$$ Das Argument der Logarithmus-Funktion ist also immer \(\ge1\), sodass der entsprechende Logarithmus für jedes \(t\) existiert.

Answer 3

Integration durch Substitution

∫ (2·t + 4)/(t^2 + 4·t + 5) dt

z = t^2 + 4·t + 5
1 dz = 2·t + 4 dt → dt = 1/(2·t + 4) dz

∫ (2·t + 4)/z 1/(2·t + 4) dz
∫ 1/z dz

LN(z) + C
LN(t^2 + 4·t + 5) + C

Comments

Vielen lieben Dank Dir! :) Ist somit ln((t2 + 4·t + 5) + C die Lösung? Kann man das weiter vereinfachen?