Zeigen Sie dass f bijektiv ist.

Question

Hallo, zu zeigen ist:

$$ f: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N} $$ ist gegeben durch $$f(a,b) = max(a,b)^2 + max(a,b) + a - b$$

Zeigen Sie dass f bijektiv ist.

Wie zeig ich das? Ich komm auch nicht drauf wie ich überhaupt zeigen soll dass es injektiv ist.

Answer 1

Hallo.

Sei ohne Einschränkung \(a>b\). Der Nachweis für den umgekehrten Fall geht analag. Dann gilt

\(f(a,b) = \max(a,b)^2 +\max(a,b)+a-b \stackrel{a>b}{=}a^2+2a-b\)

\(f(c,d) = \max(c,d)^2 +\max(c,d)+c-d \stackrel{c>d}{=}c^2+2c-d\)

Da aber \(f(a,b) = f(c,d)\) vorausgesetzt ist, ist folglich \((a,b)=(c,d)\) komponentenweise.

Die Surjektivität überlasse ich dem Aufgabensteller

Comments

kannst du ein paar tipps geben? Ich kann es immer noch nicht lösen.

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natürlich für Surjektivität