Vereinfachung Funktionsausdruck, maximaler Definitionsbereich(u. Graph)

Question

Aufgabe:

Der folgende Funktionsausdruck ist zu vereinfachen, der maximale
Definitionsbereich zu bestimmen und der Graph ist zu skizzieren.

$$\frac{\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}{\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}$$

Problem/Mein Ansatz:

$$\frac{\sqrt{\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}}+\sqrt{\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}}}{\sqrt{\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}}-\sqrt{\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}}}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{x^{2}+2x+2x+4}{x^{2}+2x-2x-4}}+\sqrt{\frac{x^{2}-2x-2x+4}{x^{2}-2x+2x-4}}}{\sqrt{\frac{x^{2}+2x+2x+4}{x^{2}+2x-2x-4}}-\sqrt{\frac{x^{2}-2x-2x+4}{x^{2}+2x-2x-4}}}$$

Answer 1

$$\frac{\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}{\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}=$$

$$\frac{(\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+\sqrt{\frac{x-2}{x+2}})^2}{(\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}})*(\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+\sqrt{\frac{x-2}{x+2}})}=$$$$\frac{ \frac{x+2}{x-2}+2*\sqrt{  \frac{x+2}{x-2}*\frac{x-2}{x+2}}+\frac{x-2}{x+2}}{\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}}=$$$$\frac{ \frac{x+2}{x-2}+2+\frac{x-2}{x+2}}{\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}}=$$$$\frac{(x+2)^2+2(x+2)(x-2)+(x-2)^2}{(x+2)^2-(x-2)^2}=$$$$\frac{((x+2)+(x-2))^2}{((x+2)+(x-2))*((x+2)-(x-2))}=$$$$\frac{4x^2}{8x}=\frac{x}{2}$$ für$$|x|>2$$

Comments

Wow!

Ich hatte auch versucht, es zu tippen, habe aber nach zwei Zeilen den Überblick verloren.

:-)

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Hat lange gedauert , mit kopieren  einfügen und löschen ging es, nur musste ich auf dem Smartphone immer hin und her scrollen.

Danke fürs Kompliment.

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x darf nicht zwischen -2 und +2 liegen, da sonst unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

:-)

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Stimmt, das hatte ich übersehen, werde ich einfügen. Danke

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habe aber nach zwei Zeilen den Überblick verloren.

Dann substituiere z = √((x+2)/(x-2)) und erhalte für den angeschriebenen Term T

T = (z + 1/z) / (z - 1/z)  =  (z^2 + 1) / (z^2 - 1) = ((x+2)/(x-2)) + 1) / ((x+2)/(x-2)) - 1) = 2x / 4

(erster Schritt durch Erweitern mit z , letzter Schritt durch Erweitern mit x-2 )

und alles steht in einer Zeile da.

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Dann substituiere z = √((x+2)/(x-2))

Hallo hj2166,

beim Plotten mit desmos bin ich ähnlich vorgegangen. Danke für deine Ultrakurz-Lösung.

:-)

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Danke, aber verstehe noch nicht ganz wie du von

$$\frac{ \frac{x+2}{x-2}+2*\sqrt{  \frac{x+2}{x-2}*\frac{x-2}{x+2}}+\frac{x-2}{x+2}}{\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}}= $$

auf $$ \frac{ \frac{x+2}{x-2}+2+\frac{x-2}{x+2}}{\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}}= $$ kommst.

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Unter der Wurzel steht 1, denn wir multiplizieren zwei Brüche miteinander indem wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen. Da aber a*b= b*a steht dann im Zähler und Nenner das Selbe. c/c ist aber 1

Wurzel aus 1 =1 es folgt 2*1=2

Alles andere ist so geblieben, wie es war.

Answer 2

Erweitere mit dem Zähler. Dann steht im Nenner die 3. binomische Formel und im Zähler die erste.

Dadurch fällt im Nenner die Wurzel weg.

:-)

Wolframalpha liefert als Vereinfachung:

\( \left\{\begin{array}{l}\dfrac{2}{x}\quad\text{falls }-2 <x<2 \\[4mm] \dfrac{x}{2} \quad\text{falls } |x|>2\end{array}\right. \)

Ich merke gerade, dass das nicht stimmen kann, da der Term für -2≤x≤+2 gar nicht definiert ist. (Vermutlich geht Wolfram von komplexen Zahlen aus.)

Richtig ist für reelle x-Werte

\( \dfrac{x}{2} \quad\text{falls } |x|>2\)

Nun noch der Graph.

Die grüne unterbrochene Gerade ist der gesuchte Graph.

Answer 3

Hallo

schon mal gut dass du das auf den Hauptnenner gebracht hast,  dann solltest du den auch kürzen! aber dann hast du dich vergallopiert.

wenn schon unter der Wurzel (x+2)*(x+2)=(x+2)^2 steht, sollt man nicht ausmultiplizieren und dann nicht mehr sehen, dass man die Wurzel ziehen kann!  sondern die Wurzel ziehen also bleibt oben x+2+x-2)2x stehen , im Nenner x+2-x+2=2x+4

dann ist ganz R ausser der Nullstelle des Nenners das Definitionsgebiet

und x/(x+2) ist leicht zu skizzieren mit Pol bei -2 und Asymptote y=2

Gruß lul

Comments

komme jetzt ganz durcheinander... Wie kann ich da genau kürzen?

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Guck dir Hogars Antwort an.

:-)

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im Nenner x+2-x+2=2x+4

x+2-x+2=4

x fällt weg.

:-)