Lokales Minimum einer Funktion beweisen

Question

Die Funktion f(x) = x6-x5+x4 soll auf Extrema an der Stelle x=0 untersucht werden.

Ich weiß, dass die Funktion bei x=0 einen Tiefpunkt hat aber ich weiß nicht wie ich das zeigen kann.

Answer 1

f(x) = x^6 - x^5 + x^4 = x^4·(x^2 - x + 1)

x = 0 ist vierfache Nullstelle mit VZW von + zu + und damit ein Tiefpunkt.

Answer 2

1. die Ableitung ist bei x=0 Null, also waagerechte Tangente . und für x<0 ist f'negativ, für x>0 positiv. also geht die Funktion bei x=0 von fallen in steigen über, also Minimum.

für einen Extremwert, bei dem f''=0 untersucht man immer, ob f' das Vorzeichen wechselt, wenn ja, Extremum  und dann noch nachsehen ob von - nach + oder + nach -.

Gruß lul

Answer 3

f ( x ) = x^6 - x^5 + x^4
f ´( x ) = 6*x^5 - 5*x^4 + 4*x^3
f ´( 0 ) = 6*0^5 - 5*0^4 + 4*0^3 = 0

Bei x= 0 ist die Steigung null

Schauen wir einmal wie die Steigung
bei x = -1  und x = 1 ist
f ´( -1 ) = 6*(-1)^5 - 5*(-1)^4 + 4*(-1)^3
= -30 - 20 - 12 = -62

f ´( 1 ) = 6*(1)^5 - 5*(1)^4 + 4*(1)^3
= 30 - 20 + 12 = + 22

Die Steigung ändert sich von fallend
auf steigend => Tiefpunkt

Ist kein 100 % Beweis.