Was bedeutet: Eine Menge M c R^n ist genau dann offen, wenn R^n \ M abgeschlossen ist?

Question

was bedeutet :

1.) M ⊂ℝⁿ

^2.)ℝⁿ \ M

und 3.) Eine Menge M ⊂ℝⁿ ist genau dann offen, wenn ℝⁿ \ M abgeschlossen ist.

 

unter 1. verstehe ich das M eine Teilmenge des ℝⁿ ist, aber wozu 2.)?

und irgendwie erscheint mir aussage 3 unlogisch obwohl ich weiß dass es stimmt.

Answer 1

1. heißt "M ist Teilmenge von \(\mathbb{R}\)", also jedes Element in M liegt auch in \(\mathbb{R}\)

2. heißt "\(\mathbb{R}\) ohne M", also alle Elemente in \(\mathbb{R}\), die nicht in M liegen. Das ist das Komplement von M

3. das heißt dann eine Teilmenge er reellen Zahlen ist genau dann offen, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist. Das kannst du dir klarmachen, je nachdem wie offen, bzw. abgeschlossen bei euch definiert ist. Ich kenne die Charakterisierung andersherum, in einer offenen Menge ist jeder Punkt innerer Punkt und abgeschlossene Mengen sind die Komplemente offener Mengen