Beweis zum rayleight quotienten

Question

Benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe bitte

Text erkannt:

Seien \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine symmetrische Matrix mit Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, \) ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) und ein \( x \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \|x\|_{2}=1 \) gegeben. Sei \( \|A x-\lambda x\|_{2}<\epsilon \) mit einem \( \epsilon>0 . \) Zeigen Sie:
$$ \min _{1 \leqslant j \leqslant n}\left|\lambda_{j}-\lambda\right|<\epsilon $$

Answer 1

Nutze den Fakt aus, dass \(A\in \mathbb{R}^{n,n}\) als symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar ist, sodass man mit \(S\in \mathcal{O}(n)\) und \(D:=\operatorname{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)\)  $$ A=S\cdot D\cdot S^{-1} $$

erhält. Nun kannst du dir das gegebene \(x\in \mathbb{R}^n\) aus der Aufgabenstellung als Linearkombination der Eigenvektoren von \(A\) darstellen. Diese Eigenvektoren sind nun hierbei die Spalten der Transformationsmatrix \(S=:(s_1,...,s_n)\). Man hat also damit $$ x=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot s_k, \quad (*)$$

wobei noch zusätzlich \(\|x\|_2=1\) gilt. Jetzt kannst du das mal in \( \|A\cdot x-\lambda \cdot x\|_{2} \) einsetzen und solange umformen bis du auf die Behauptung stößt. Falls \(x\) zufällig ein Eigenvektor \(s_k\) ist, dann erhielte man ja sofort

\( \varepsilon > \|A \cdot s_k-\lambda \cdot s_k\|_2=\|\lambda_k\cdot s_k-\lambda\cdot s_k\|_2=\|(\lambda_k-\lambda)\cdot s_k\|_2\\=|\lambda_k-\lambda|\cdot \|s_k\|_2=|\lambda_k-\lambda| \)

In dieser Art und Weise kannst du nun mit dem gegebenen \(x\) aus (*) arbeiten.