Finde alle Quadratzahlpaare, deren Differenz 1000 beträgt.

Question

Knobelaufgabe für Mathe-Nerds :-)

(Ich kenne die Lösung, möchte euch die Aufgabe aber nicht vorenthalten.)

Finde alle Quadratzahlpaare, deren Differenz 1000 beträgt.

Technische Hilfsmittel wie Taschenrechner, Wolframalpha usw. sind natürlich verboten.

PS:

Ich habe die Aufgabe mit 8. Klassen bearbeitet.

Comments

Der Hinweis 8. Klasse  sollte einem auf die richtige Idee bringen , wenn man weiss, was man da so lernt.

Danke, nette Anwendung!

Gruß lul

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Bis zur 8. komme ich selten. Die Regel ist 5. und 6. Klasse nach 20 Jahren habe selbst ich da das meiste begriffen. Aber leider muss ich immer noch auf die Themen von Klasse 3 zurückgreifen. Anton Mathe Klasse 3 der Bus.

Answer 1

$$(63001 ; 62001)$$$$(16129 ; 15129)$$$$(3025 ; 2025)$$$$(1225 ; 225)$$

$$Nebenrechnung$$

1000/4=250 ; ±1

$$251^2-249^2=1000$$

250²=200*300+250=62500

251²=62500+500+1=63001

249²=62500-500+1=62001

1000/8=125 ; ±2

$$127^2-123^2=1000$$

125²=15000+625=15625

127²=15625+500+4=16129

123²=15625-500+4=15129

1000/(5*4)=50 ; ± 5

$$55^2-45^2=1000$$

50²=2500

55²= 2500+500+25=3025

45²=2500-500+25=2025

1000/(5*8)=25 ; ± 10

$$35^2-15^2=1000$$

25²=20*30+25=625

35²=625+500+100=1225

15²=625-500+100=225

$$Vorüberlegung :$$

$$1000 = 499+501=(2*249+1)+(2*250+1)$$

Damit ist

$$251^2-249^2=1000$$

Ein Paar habe ich schon mal .

$$(a+b)*(a-b)=1000$$

 1000*1

500*2→251²-249²=1000

 250*4  →  127²-123²=1000

  200*5

  125*8

  100*10 → 55²-45²=1000

    50*20→35²-15²=1000

     40 *25

Das sollten Sie sein.

Comments

Dann sind die restlichen ja einfach.

;-)

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Wenn ich keine übersehen habe.

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Das Schwierige war das Rechnen ohne TR, doch jetzt habe ich es.

(Oder habe ich es verschlimmbessert?  )

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Sieht gut aus.

Da lassen sich doch alle drei binomischen Formeln dran üben.

:-)

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Ja und vor lauter Freude habe ich auch gleich bei der Differenz 1001,1002,1003 und 1004 weiter gemacht. Dabei ging es mir weniger um den Wert sondern um die Anzahl der Paare.

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Die Aufgabe fiel mir vor 26 Jahren an einer roten Ampel ein. :-)

Als ich sie meinen Schülern zum ersten Mal stellte, fragte ein Mädchen, eie es denn mit anderen Zahlen sei. Sie hatte also die gleiche Idee wie du.

:-)

Answer 2

Bisschen Brute-Force und ohne Pythagoras, rechtwinklige Dreiecke und Co.

$(x-y)(x+y)=2^2\cdot (2\cdot 5^3)$

$(x-y)(x+y)=2\cdot (2^2\cdot 5^3)$

$(x-y)(x+y)=(2\cdot 5^2)\cdot (2^2\cdot 5)$

... usw. alle Kombinationen.

Man hat dann jeweils $x-y=a$  und $x+y=b$ und berechnet dann:$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$$ So gilt z. B. für die erste Gleichung $(x-y)(x+y)=2^2\cdot (2\cdot 5^3)\Rightarrow a=2^2=4 \, \land \, b=2\cdot 5^3=250$:$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\250 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 127\\123 \end{pmatrix}$$ Natürlich gehört zu jedem Lösungspaar $(u,v)$ auch $(-u,v),(u,-v),(-u,-v)$

Comments

Sieht interessant aus, ist allerdings für Achtklässler etwas zu abstrakt.

Und da nur Quadratzahlpaare gesucht sind, gibt es keine negativen Lösungen.

:-)

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Oh, tut mir leid, ich habe deine ordinale 8 als kardinale gelesen.

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Wie MontyPhyton schon gesagt hat, es war nicht die Basis gesucht, sondern die Quadratzahl. Da ist der Exponent immer 2. Welches Vorzeichen die Basis hat ist dann unerheblich.